下列哪一個是偶函數？f(x) = sin(−3πx)、f(x) = tan(3πx)、f(x) = cos(5πx/4)、f(x) = csc(−πx/2)。

Step-by-step solution

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   先寫出判別法。 若對定義域中每個 $x$ 都有 $f(-x) = f(x)$，函數就是偶函數（圖形對 $y$ 軸對稱）；若 $f(-x) = -f(x)$，就是奇函數（對原點對稱）。所以整題就是：代入 $-x$，看拿回來的是哪個正負號。

2. 2

   回想基本三角函數的奇偶性。 $\cos$ 是偶函數：$\cos(-\theta) = \cos\theta$。它的倒數 $\sec$ 也是偶的。另一方面 $\sin$、$\tan$、$\cot$、$\csc$ 全是奇函數：$\sin(-\theta) = -\sin\theta$，其餘依此類推。引數裡的線性項 $kx$ 不會打亂這件事，因為把 $x$ 換成 $-x$ 只是讓 $kx$ 變號。

3. 3

   檢驗那三個奇函數候選。

   $\sin(-3\pi(-x)) = \sin(3\pi x) = -\sin(-3\pi x)$

   $\tan(3\pi(-x)) = \tan(-3\pi x) = -\tan(3\pi x)$

   $\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}(-x)\right) = \csc\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right) = -\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}x\right)$

   每一個拿回來的都是原式的相反數，所以三個都是奇函數，不是偶函數。

4. 4

   檢驗餘弦那個候選。 因為餘弦是偶函數，

   $\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}(-x)\right) = \cos\!\left(-\tfrac{5\pi}{4}x\right) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right) = f(x)$

   所以 $f(-x) = f(x)$，這一個是偶函數。

5. 5

   用數值抽查。 取 $x = 0.3$：$\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(0.3)\bigr) = \cos(1.1781) = 0.3827$，而 $\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(-0.3)\bigr) = \cos(-1.1781) = 0.3827$ ✓——兩者相等。同一個 $x$ 拿去試正切選項：$\tan(0.9\pi) = -0.3249$ 對上 $\tan(-0.9\pi) = +0.3249$——正好相反，確認它是奇函數。答案：$f(x) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right)$。