一個扇形的圓心角為 50 度、半徑為 9 cm。求弧長 s 與扇形面積 A，四捨五入到小數點後三位。

Step-by-step solution

1. 1

   先把角換成弧度。 公式 $s=r\theta$ 與 $A=\tfrac12 r^2\theta$ 只有在 $\theta$ 用弧度時才成立，因為它們來自取整個圓的 $\theta/(2\pi)$ 這個比例。乘上 $\pi/180$：

   $\theta=50^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{18}\ \text{弧度}$

   直接拿角度數來算，會讓兩個答案都被放大約 $57$ 倍。

2. 2

   寫出兩個扇形公式。 對以弧度表示的圓心角 $\theta$，

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   它們其實就是整個圓周 $2\pi r$ 與整個面積 $\pi r^2$ 的 $\theta/(2\pi)$ 這個比例。

3. 3

   算弧長。

   $s=r\theta=9\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{5\pi}{2}\approx 7.854\ \text{cm}$

4. 4

   算扇形面積。 先把半徑平方，再取一半：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(9)^2\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{81}{2}\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{45\pi}{4}\approx 35.343\ \text{cm}^2$

5. 5

   寫出兩個四捨五入後的答案。

   $\boxed{s\approx 7.854\ \text{cm},\qquad A\approx 35.343\ \text{cm}^2}$

6. 6

   用關係式 A = ½rs 檢查。 把 $\theta$ 消掉得 $A=\tfrac12 rs$，而 $\tfrac12(9)\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=\tfrac{45\pi}{4}$，正是上面求出的面積。