已知 sin θ = 0.66，求角 θ 的度數與弧度。

Step-by-step solution

1. 1

   兩邊取反正弦。

   $\theta=\sin^{-1}(0.66)$

   主值落在 $[-90^\circ,90^\circ]$ 內，而由於 $0.66>0$，這個角是銳角。

2. 2

   檢查定義域。 $|0.66|\le1$，所以反正弦有定義。

3. 3

   先估再算。 $0.66$ 落在 $\sin30^\circ=0.5$ 與 $\sin45^\circ\approx0.7071$ 之間，所以可以預期角度在 $40^\circ$ 出頭。

4. 4

   先求度數。

   $\theta=\sin^{-1}(0.66)=41.2999^\circ\approx41.30^\circ$

5. 5

   換算成弧度。

   $41.2999\times\frac{\pi}{180}=0.7208\ \text{弧度}$

6. 6

   觀察靈敏度，再驗算。 拿 $\sin^{-1}(0.67)=42.07^\circ$ 來對照：正弦值只變了 $0.01$，角度就移動了約 $0.77^\circ$。這種放大效應，正是反三角函數的輸入值該保留完整精度、不要太早四捨五入的原因。反向檢查：$\sin(0.7208188)=0.660000$ ✓。