解 2 sin(2θ + π/4) − 1 = 0，其中 θ 大於等於 0 且小於 2π。

Step-by-step solution

1. 1

   把正弦孤立出來。

   $\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$

2. 2

   把整個引數代換掉，並同步換算區間。 令 $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$。當 $\theta$ 跑遍 $[0,2\pi)$ 時，$2\theta$ 跑遍 $[0,4\pi)$，於是

   $\frac{\pi}{4}\le t<4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}.$

   換算區間正是大家最會跳過的一步——引數翻倍會掃過兩整圈，所以解的個數大約是平常的兩倍。

3. 3

   在這段撐開的區間內，找出所有滿足 sin t = 1/2 的 t。 在一個週期內的解是 $t=\tfrac{\pi}{6}$ 與 $t=\tfrac{5\pi}{6}$；加上 $2\pi$ 的整數倍，再保留落在 $\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}\right)$ 內的那些：

   $t=\frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6},\ \frac{25\pi}{6}.$

   注意 $t=\tfrac{\pi}{6}$ 被排除了，因為 $\tfrac{\pi}{6}<\tfrac{\pi}{4}$——這個平移確實從前端切掉了一個解。

4. 4

   把代換還原。 由 $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$ 得 $\theta=\dfrac{t-\pi/4}{2}$。括號內先通分成分母 $12$：

   $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12},\quad \frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{23\pi}{12},\quad \frac{17\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{31\pi}{12},\quad \frac{25\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{47\pi}{12}.$

5. 5

   各除以 2 得到 θ。

   $\theta=\frac{7\pi}{24},\ \frac{23\pi}{24},\ \frac{31\pi}{24},\ \frac{47\pi}{24}.$

   四個都落在 $[0,2\pi)$ 內，因為 $\tfrac{47\pi}{24}<\tfrac{48\pi}{24}=2\pi$ ✓。

6. 6

   驗算其中一個解。 取 $\theta=\tfrac{7\pi}{24}$：$2\theta+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12}+\tfrac{3\pi}{12}=\tfrac{10\pi}{12}=\tfrac{5\pi}{6}$，而 $2\sin\tfrac{5\pi}{6}-1=2(\tfrac12)-1=0$ ✓。相鄰的解交替相差 $\tfrac{16\pi}{24}$ 與 $\tfrac{8\pi}{24}$，正是「每個週期兩個解、重複兩次」該有的樣式。