求 tan 315° 的精確值。

Step-by-step solution

1. 1

   定出角的位置，並先確定正負號。 $315^\circ$ 落在 $270^\circ$ 與 $360^\circ$ 之間，所以位於第四象限，那裡 $x>0$ 而 $y<0$。由於 $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}=\dfrac{y}{x}$ 是負數除以正數，$\tan315^\circ$ 必定是負的。

2. 2

   求參考角。 最靠近的水平軸是 $360^\circ$：

   $360^\circ-315^\circ=45^\circ$

   所以參考角是 $45^\circ$，大小和 $\tan45^\circ$ 相同。

3. 3

   使用第四象限的恆等式。 對於寫成 $360^\circ-\theta$ 的角，

   $\tan\!\left(360^\circ-\theta\right)=-\tan\theta$

   （等價地說是 $\tan(-\theta)=-\tan\theta$，因為正切是週期 $180^\circ$ 的奇函數）。取 $\theta=45^\circ$：

   $\tan315^\circ=-\tan45^\circ$

4. 4

   代入特殊角的值。 $45$–$45$–$90$ 三角形的兩股相等，所以 $\tan45^\circ=1$，於是

   $\tan315^\circ=-1$

5. 5

   用座標驗證。 $315^\circ$ 對應單位圓上的點 $\left(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$，所以

   $\tan315^\circ=\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=-1\ \checkmark$

   數值上就是 $-1$，誤差在 $10^{-12}$ 以內 ✓。另外 $315^\circ=\tfrac{7\pi}{4}$ 弧度，而且因為正切的週期是 $180^\circ$，所以 $\tan315^\circ=\tan135^\circ=-1$ 同樣成立。