下列哪一個和 tan(5π/6) 相等：tan(−π/6)、cot(5π/6)、tan(7π/6)，還是 tan(−5π/6)？

Step-by-step solution

1. 1

   定出角的位置並求出精確值。 $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ 落在第二象限，那裡正弦為正、餘弦為負，所以正切為負。它的參考角是 $\pi-\frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$，因此 $\tan\frac{5\pi}{6} = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3} \approx -0.5774.$

2. 2

   用正切的奇對稱檢驗 tan(−π/6)。 $\tan(-\theta) = -\tan\theta$，所以 $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3}.$ 這是完全吻合。

3. 3

   排除 cot(5π/6)。 餘切是倒數，不是同一個函數：$\cot\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{-1/\sqrt3} = -\sqrt3 \approx -1.7321$。正負號相同，但大小不對。

4. 4

   排除 tan(7π/6)。 正切的週期是 $\pi$，所以 $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\!\left(\frac{7\pi}{6}-\pi\right) = \tan\frac{\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$。這個角在第三象限，那裡正切為正——正負號錯了。

5. 5

   排除 tan(−5π/6)。 由奇函數的性質，$\tan\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\tan\frac{5\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$——正負號同樣錯了，事實上它正是目標值的相反數。

6. 6

   寫出答案與一般規則。 只有 $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ 成立。一般而言，對任何整數 $k$ 都有 $\tan\theta = \tan(\theta+k\pi)$，而這裡 $\frac{5\pi}{6}-\pi = -\frac{\pi}{6}$——這兩個角剛好相差一個週期。