已知 6 sin⁴x + sin²x − 6 = 0，求 2 sin x cos x 的值。

Step-by-step solution

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   把三角方程式變成二次方程式。 式子裡只出現 $\sin x$ 的偶次冪，所以令 $u=\sin^{2}x$；於是 $\sin^{4}x=u^{2}$，而

   $6u^{2}+u-6=0$

   注意目標 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 平方之後也能用 $u$ 表示，所以完全不必求出 $x$ 的個別值。

2. 2

   解二次方程式，並捨去不可能的根。

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{1+144}}{12}=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

   由於 $u=\sin^{2}x$ 必須滿足 $0\le u\le 1$，負根 $\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx-1.09$ 要捨去。剩下

   $\sin^{2}x=\frac{\sqrt{145}-1}{12}\approx 0.92013$

   安穩地落在 $[0,1]$ 內 ✓。

3. 3

   用畢氏恆等式求出 $\cos^{2}x$。

   $\cos^{2}x=1-\frac{\sqrt{145}-1}{12}=\frac{13-\sqrt{145}}{12}\approx 0.07987$

4. 4

   把目標平方，而不是直接算它。 平方之後就完全不必去管 $\sin x$ 與 $\cos x$ 各自的正負號：

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac{\sqrt{145}-1}{12}\cdot\frac{13-\sqrt{145}}{12}=\frac{\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)}{36}$

5. 5

   把根式乘積展開。

   $\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)=13\sqrt{145}-145-13+\sqrt{145}=14\sqrt{145}-158$

   所以

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=\frac{14\sqrt{145}-158}{36}=\frac{7\sqrt{145}-79}{18}\approx 0.29395$

6. 6

   開平方，正負兩個號都保留。

   $2\sin x\cos x=\sin 2x=\pm\sqrt{\frac{7\sqrt{145}-79}{18}}\approx\pm 0.5422$

   兩個號都會出現：原方程式只限制了 $\sin^{2}x$，所以 $x$ 可能落在 $\sin x$ 與 $\cos x$ 同號的象限，也可能落在異號的象限。數值上，$\sin^{2}x=0.920133$ 代入得 $6(0.846645)+0.920133-6=0.000000$ ✓。