解 10.752 = 9.13 × 9.8 × 0.01 × cos a + 9.13 × 9.8 × sin a，求角 a。

Step-by-step solution

1. 1

   把重複出現的常數提出來。 兩項都含有 $9.13\cdot9.8 = 89.474$，所以整條方程式除以它，得到 $0.01\cos\alpha_m + \sin\alpha_m = \frac{10.752}{89.474} = 0.12016899.$ 這就是標準的 $a\cos\alpha+b\sin\alpha=c$ 形式，其中 $a=0.01$、$b=1$。

2. 2

   引入輔助角。 寫成 $\sin\alpha_m+0.01\cos\alpha_m = R\sin(\alpha_m+\varphi)$，其中 $R = \sqrt{1^2+0.01^2} = \sqrt{1.0001} = 1.00005000,\qquad \tan\varphi = \frac{0.01}{1},\ \varphi = \arctan 0.01 = 0.5729387^\circ.$ 把兩個波合併成一個，正是讓這條方程式能寫出封閉解的關鍵。

3. 3

   化成單一的正弦方程式。 $\sin(\alpha_m+\varphi) = \frac{0.12016899}{1.00005000} = 0.12016298.$

4. 4

   反正弦的兩個分支都要取。 在 $[0^\circ,360^\circ)$ 內，正弦方程式有兩個解：$\alpha_m+\varphi = 6.9015087^\circ \quad\text{或}\quad 180^\circ-6.9015087^\circ = 173.0984913^\circ.$ 這裡要多留幾位數字：輔助角和這個反正弦稍後都要相減，任一邊的誤差都會直接傳進 $\alpha_m$。

5. 5

   減掉輔助角。 $\alpha_m = 6.9015087^\circ - 0.5729387^\circ = 6.32857^\circ \quad\text{或}\quad \alpha_m = 173.0984913^\circ - 0.5729387^\circ = 172.52555^\circ.$ 換成弧度分別是 $0.110454$ 與 $3.011139$。

6. 6

   把兩個根都代回原方程式驗證。 在 $\alpha_m = 6.32857^\circ$ 時：$0.89474\cos + 89.474\sin = 0.88929+9.86271 = 10.75200$。在 $\alpha_m = 172.52555^\circ$ 時：$0.89474(-0.9915030)+89.474(0.1300841) = -0.88714+11.63914 = 10.75200$。兩者都完全吻合；第一個是實務上通常想要的那個小角度。