解 6 乘 sin x 的四次方，加 sin x 的平方，再減 6 等於 0。

Step-by-step solution

1. 1

   用代換把二次式露出來。 式子裡只出現 $\sin x$ 的偶次冪，所以令 $u=\sin^2x$：

   $6u^2+u-6=0$

   這個代換同時記下了一個二次式本身不知道的限制：$u=\sin^2x$ 逼出 $0\le u\le 1$。

2. 2

   解這個二次方程式。 判別式 $\Delta=1^2-4(6)(-6)=1+144=145$（不是完全平方數），

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

3. 3

   捨去不合格的根。 由於 $\sqrt{145}\approx 12.0416$，

   $u_1=\frac{-1+\sqrt{145}}{12}\approx 0.9201329,\qquad u_2=\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx -1.0868$

   只有 $u_1$ 滿足 $0\le u\le 1$；$u_2$ 是負的，而平方永遠不可能是負的，所以捨去。（如果連 $u_1$ 都超過 $1$，這條方程式就完全無解。）

4. 4

   開平方得到 $\sin x$。

   $\sin x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\approx \pm 0.9592356$

   兩個正負號都必須保留，因為 $\sin^2 x$ 把正負號的資訊弄丟了。

5. 5

   寫出通解。 兩種正負號的選擇合併成正弦方程式的標準解族：

   $x=n\pi\pm\arcsin\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}$

   數值上 $\arcsin(0.9592356)\approx 1.2843$ 弧度 $\approx 73.58^{\circ}$，所以解是 $x\approx n\pi\pm 1.2843$。

6. 6

   驗算。 取 $u=0.9201329$：$6u^2+u-6=6(0.8466445)+0.9201329-6=5.0798671+0.9201329-6=0$ ✓。而取 $x=1.2843$，$\sin x=0.9592356$，所以 $\sin^2x=u$，正符合要求。