解 cos(2x − π/3) + cos x = 0.5，其中 x 在 [0, 2π) 內。

Step-by-step solution

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   用和差化積把兩個餘弦合併。 取 $\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$，其中 $A=2x-\frac{\pi}{3}$、$B=x$：$\frac{A+B}{2}=\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6},\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6},$ 於是方程式變成 $2\cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12,\quad\text{也就是}\quad \cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac14.$

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   認清它沒有封閉形式。 兩個餘弦的引數頻率比是 $3:1$，所以這個乘積無法化成單一角度的單一三角函數。代入 $t=\tan\frac{x}{2}$ 會把方程式變成 $t$ 的四次式，根都是無理數，所以誠實的做法就是求數值解。

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   先框出解的個數。 用二倍角公式展開，$\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12\cos 2x+\tfrac{\sqrt3}{2}\sin 2x$，所以左邊是由前兩個諧波組成的平滑 $2\pi$ 週期函數。在 $[0,2\pi)$ 上取樣可以看到它在 $-1.583246$ 與 $1.891702$ 之間變動，而且恰好穿過 $0.5$ 這條水平線兩次，所以預期有兩個解。

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   把兩個交點框住，再用二分法。 令 $f(x)=\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})+\cos x-0.5$。則 $f(1.2)=+0.078629$ 與 $f(1.3)=-0.214508$ 把第一個交點夾住，而 $f(5.8)=-0.042926$ 與 $f(5.9)=+0.187084$ 夾住第二個。把每個區間二分到雙精度的極限，得到 $x_{1}=1.227110981,\qquad x_{2}=5.818834845.$

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   兩個都代回去。 在 $x_{1}=1.227110981$ 時：$\cos(2x_{1}-\tfrac{\pi}{3})=0.163041$、$\cos x_{1}=0.336959$，而 $0.163041+0.336959=0.500000$。在 $x_{2}=5.818834845$ 時：$\cos(2x_{2}-\tfrac{\pi}{3})=-0.394113$、$\cos x_{2}=0.894113$，而 $-0.394113+0.894113=0.500000$。兩個解都吻合到小數點後六位。

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   換成度，並寫出通解。 $x_{1}\approx 70.3083^\circ$、$x_{2}\approx 333.3947^\circ$。由於整條方程式的週期是 $2\pi$，所有解都是 $x\approx 1.227111+2k\pi\quad\text{或}\quad x\approx 5.818835+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$