求 arctan(1/2) 的值，以弧度與度表示。

Step-by-step solution

1. 1

   先說明反函數在問什麼。 $\arctan\left(\tfrac12\right)$ 是唯一滿足

   $\tan\theta=\frac{1}{2},\qquad -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$

   的角 $\theta$。正是這個主值範圍讓答案唯一——正切值為 $\tfrac12$ 的角有無窮多個，彼此相差 $\pi$ 的整數倍。

2. 2

   計算之前先框住答案。 由於 $\tan 0=0$、$\tan\tfrac{\pi}{4}=1$，而正切遞增，這個角必定滿足 $0<\theta<\tfrac{\pi}{4}=45^\circ$。它是正的，因為 $\tfrac12>0$。

3. 3

   認清它沒有特殊角的形式。 正切值 $\tfrac12$ 不對應任何標準的 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 三角形，所以答案是無理數，只能用數值表示：

   $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\approx 0.4636476\ \text{弧度}$

4. 4

   換算成度。 乘上 $\tfrac{180}{\pi}$：

   $0.4636476\times\frac{180}{\pi}\approx 26.5651^\circ$

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   取回正切值來檢查。 $\tan(0.4636476)=0.5000000$ $\checkmark$，而且這個值落在先前預測的範圍 $0<26.565^\circ<45^\circ$ 內 $\checkmark$。從幾何上看，這就是兩股為 $1$ 與 $2$、斜邊為 $\sqrt5$ 的直角三角形裡的那個銳角。