求 arccos(0.33) 的精確值。

Step-by-step solution

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   先看清楚反餘弦到底在問什麼。 $\arccos(0.33)$ 是主值範圍 $[0,\pi]$（也就是 $[0^\circ,180^\circ]$）內唯一滿足 $\cos\theta = 0.33.$ 的角 $\theta$。正因為限制在 $[0,\pi]$ 上，答案才會是單一一個數，而不是無窮多個。

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   檢查 $0.33$ 是不是特殊值。 初等三角學裡具有封閉形式的餘弦值，是由 $0,\pm\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt2}{2},\pm\tfrac{\sqrt3}{2},\pm1$ 組成的那一批（另外還有 $3^\circ$ 倍數角的一些巢狀根式）。既然 $0.33$ 都不在其中，任何根式與 $\pi$ 的組合都不可能把這個角收成封閉形式。

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   因此精確值就是這個反餘弦式本身。 誠實的精確答案是 $\theta=\arccos(0.33),$ 保留反函數的形式。若寫成 $\tfrac{\pi}{2}-0.33$ 之類就錯了：那條恆等式是給 $\arcsin$ 用的，不能套在一個隨手寫下的小數上。

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   求出弧度的十進位值。 以數值方法計算這個反餘弦，$\arccos(0.33)=1.234492751\ldots \approx 1.234493\ \text{弧度}.$ 順手檢查合理性：$\arccos(0)=\tfrac{\pi}{2}\approx 1.5708$、$\arccos(0.5)=\tfrac{\pi}{3}\approx 1.0472$，而 $0.33$ 介於 $0$ 與 $0.5$ 之間，所以這個角必須落在 $1.0472$ 和 $1.5708$ 之間——確實如此。

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   換算成度。 乘上 $180/\pi$：$1.234492751\times\frac{180}{\pi}=70.7312245\ldots\approx 70.7312^\circ.$ 反方向驗證，$\cos(70.7312^\circ)=0.330000$，整個迴路就閉合了。

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   小心四捨五入。 這裡最常見的失誤就是太早截斷：$70.51^\circ$ 對應到的是 $\cos\theta=0.33364$，而不是 $0.33$，所以報 $70.51^\circ$ 會差上超過零點二度，而且只要把餘弦取回來就立刻露餡。