判斷下列各式對實數 m 是否可能成立：cos(m) = 2、tan(m) = 2、cot(0) = m、csc(π) = m、sin(m) = −1.1、arcsec(m) = π/2、cot(π) = m、sin(m) = −0.9。

Step-by-step solution

1. 1

   把八個敘述分成兩類。 在 (a)、(b)、(e)、(h) 裡，未知數在函數裡面，所以問題是給定的輸出值有沒有落在函數的值域內。在 (c)、(d)、(g) 裡，未知數是輸出，所以問題是函數在那個輸入處到底有沒有定義。(f) 則是關於反函數的值域。

2. 2

   用正弦與餘弦的值域處理 (a)、(e)、(h)。 對每個實數 $m$ 都有

   $-1\le\sin m\le 1,\qquad -1\le\cos m\le 1.$

   所以 $\cos(m)=2$ 不可能、$\sin(m)=-1.1$ 也不可能，而 $\sin(m)=-0.9$ 則是可能的（例如 $m=\arcsin(-0.9)\approx-1.1198$）。

3. 3

   用正切的值域處理 (b)。 $\tan$ 在每個分支上都取遍所有實數，所以 $\tan(m)=2$ 是可能的；$m=\arctan 2\approx 1.1071$ 就行，而 $m\approx 1.1071+k\pi$ 也都行。

4. 4

   檢查餘切與餘割在哪裡爆掉，處理 (c)、(d)、(g)。 兩者的分母都有 $\sin$：

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\qquad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.$

   由於 $\sin 0=0$、$\sin\pi=0$，$\cot(0)$、$\csc(\pi)$ 與 $\cot(\pi)$ 三者全都沒有定義——它們分別是 $\tfrac10$、$\tfrac10$ 與 $\tfrac{-1}{0}$。沒有任何實數 $m$ 能等於一個沒有定義的式子，所以 (c)、(d)、(g) 都不可能。

5. 5

   檢查反正割的值域，處理 (f)。 反正割的定義值域是 $\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right]$——$\tfrac{\pi}{2}$ 這個值是刻意排除的，因為 $\sec\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{\cos(\pi/2)}=\tfrac10$ 沒有定義。所以 $\sec^{-1}(m)=\tfrac{\pi}{2}$ 不可能。

6. 6

   把判定結果收齊。 可能：(b) 與 (h)。不可能：(a)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)。值得記住的規律是：有界的函數會敗在大小上，而倒數型的函數會在分母歸零的地方失效。