判斷對錯：csc(7π/6) = −2。

Step-by-step solution

1. 1

   回想餘割的定義。 餘割不是反函數，而是倒數：

   $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$

   所以整個問題就化成精確求出 $\sin\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)$。

2. 2

   定出角的位置並求參考角。 把這個角寫成超過 $\pi$ 的旋轉：

   $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

   只比 $\pi$（也就是 $180^{\circ}$）多一點的角落在第三象限，它的參考角是 $\tfrac{\pi}{6} = 30^{\circ}$。

3. 3

   套上象限的正負號。 在第三象限，單位圓上的 $x$ 與 $y$ 座標都是負的，所以正弦在那裡為負。由 $\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac12$，

   $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

   單位圓上的點是 $\left(-\tfrac{\sqrt3}{2},\, -\tfrac12\right)$，而 $y$ 座標就是正弦值。

4. 4

   取倒數。

   $\csc\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{-\tfrac12} = -2$

   取倒數不會改變正負號，所以負的正弦給出負的餘割——而且既然 $\left|\sin\right| = \tfrac12 < 1$，餘割的絕對值必定大於 $1$，和 $2$ 相符。

5. 5

   回答對錯。 這個敘述和算出來的值完全吻合，所以是對的。數值檢查得到 $1/\sin(7\pi/6) = -2.000000000000001$，那一點點殘差是浮點誤差，而不是真有出入。