解 x：√(x² + 125.4² + 100²) = x / cos 20°。

Step-by-step solution

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   平方之前先注意定義域。 左邊是平方根，所以非負；右邊是 $x/\cos 20^\circ$，而 $\cos 20^\circ>0$。因此任何解都必須滿足 $x\ge 0$，之後若冒出負根，就得當成增根捨去。

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   兩邊平方，並把常數整理在一起。 這裡可以放心平方，因為兩邊都非負：

   $x^2+125.4^2+100^2=\frac{x^2}{\cos^2 20^\circ}\;\Longrightarrow\;125.4^2+100^2=x^2\left(\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1\right)$

   這個常數是 $K=125.4^2+10000=25725.16$。

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   用畢氏恆等式化簡括號。 由於 $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$：

   $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1=\tan^2 20^\circ$

   方程式於是變成 $x^2\tan^2 20^\circ=25725.16$。認出這條恆等式，正是把一條雜亂的三角方程式變成一行就解得完的關鍵。

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   解出 $x$，只保留正根。

   $x=\frac{\sqrt{25725.16}}{\tan 20^\circ}=\frac{160.3907}{0.3639702}\approx 440.67$

   負根 $-x$ 滿足平方後的方程式，卻不滿足原式，因為它會讓右邊變成負的，而左邊始終是正的。

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   代回驗證。 取 $x\approx 440.67$，左邊是 $\sqrt{440.67^2+25725.16}$，右邊是 $440.67/\cos 20^\circ$；兩者算到七位有效數字都相同，確認了這個根。

   $\sqrt{x^2+25725.16}=\frac{x}{\cos 20^\circ}\;\checkmark$