不用計算機求 arccos(√2/2) 的值，答案寫成 π 的倍數，並說明正負號是 + 還是 −。

Step-by-step solution

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   先把問題改寫成方程式。 求 $\cos^{-1}\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)$ 就是要找出滿足

   $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad 0 \le \theta \le \pi$

   的角 $\theta$。正是這個值域限制，讓反餘弦成為輸出唯一的真正函數。

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   認出這個特殊值。 $\tfrac{\sqrt2}{2}$ 和 $\tfrac{1}{\sqrt2} \approx 0.7071$ 是同一個數，而它正是 $45^{\circ}$ 的餘弦值——它來自兩股為 $1$、$1$、斜邊為 $\sqrt2$ 的等腰直角三角形，鄰邊除以斜邊就是 $1/\sqrt2$。完全不必動用計算機。

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   把 $45^{\circ}$ 換成弧度。 乘上 $\pi/180$：

   $45^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

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   決定正負號。 輸出必須落在 $[0,\pi]$ 內，而輸入值 $\tfrac{\sqrt2}{2}$ 是正的，所以角在第一象限，答案就是 $+\tfrac{\pi}{4}$。注意 $-\tfrac{\pi}{4}$ 同樣滿足 $\cos\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$，但它落在主值範圍之外，反餘弦永遠不會傳回它。

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   驗算。 $\cos\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓，而且 $\tfrac{\pi}{4} \approx 0.7854$ 確實落在 $[0,\pi]$ 內 ✓。假如輸入改成 $-\tfrac{\sqrt2}{2}$，答案會變成 $\tfrac{3\pi}{4}$，依舊是正的——反餘弦的值永遠不會是負數。