求 arctan(3716/3936) 的值，答案同時以弧度與度表示。

Step-by-step solution

1. 1

   動手之前先約分。 兩個數都能被 $4$ 整除：

   $\gcd(3716,3936)=4\ \Longrightarrow\ \frac{3716}{3936}=\frac{929}{984}$

   先約分很值得，因為這樣下一步——檢查是不是特殊角——才有辦法用眼睛看出來。

2. 2

   檢驗輸入值是不是特殊的正切值。 有精確值的正切是 $0$、$\tfrac{\sqrt3}{3}=0.5774$、$1$ 和 $\sqrt3=1.7321$。而這裡

   $\frac{929}{984}=0.944106$

   都不是，而且 $929$ 是質數，背後也藏不了什麼根式。沒有精確的封閉形式；確實非用計算機不可。

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   計算之前先把答案框住。 由於 $0.944106<1$，而正切在 $(0,\tfrac{\pi}{2})$ 上遞增，這個角必定小於 $\arctan 1=45^{\circ}$——但只小一點點，因為比值很接近 $1$。可以預期落在 $40$ 度出頭。

4. 4

   先求弧度值。

   $\arctan(0.944106)=0.7566554\ \text{弧度}$

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   換算成度。 乘上 $\tfrac{180}{\pi}$：

   $0.7566554\times\frac{180}{\pi}=43.3532^{\circ}$

   這剛好落在 $45^{\circ}$ 之下，和第 3 步的預測完全一致 ✓。

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   取回正切值來驗證。 $\tan(0.7566554)=0.944106$，在小數點後六位重現了 $\tfrac{929}{984}$ ✓。再多一層檢查：$0.7566554$ 弧度略小於 $\tfrac{\pi}{4}=0.785398$ 弧度，和角度小於 $45^{\circ}$ 相符。