一個三角形的三邊為 65、65 與 10.75，沒有已知的角。求三個角。

Step-by-step solution

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   替 SSS 選對工具。 已知三邊而沒有角時，正弦定理派不上用場 — 它一定要有一組配對好的邊與對角。餘弦定理是唯一的起點：

   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\;\Longrightarrow\;\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

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   善用等腰的對稱性。 有兩邊相等（$65=65$），所以它們的對角也相等。這表示只要算一次餘弦定理 — 算出小邊 $10.75$ 的對角 $C$ — 就足以決定全部。

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   代入數字。

   $\cos C=\frac{65^2+65^2-10.75^2}{2(65)(65)}=\frac{4225+4225-115.5625}{8450}=\frac{8334.4375}{8450}=0.98632396$

4. 4

   取反餘弦。

   $C=\cos^{-1}(0.98632396)=9.4867^{\circ}$

   餘弦值這麼接近 $1$，正是「非常細長的三角形」在算術上的特徵，而邊長 $65,65,10.75$ 描述的正是這種形狀。

5. 5

   由內角和求出兩個底角。

   $A=B=\frac{180^{\circ}-9.4867^{\circ}}{2}=85.2567^{\circ}$

6. 6

   用面積獨立驗算。 用海龍公式，$s=70.375$ 時面積 $=348.178$。同樣的面積由 $\tfrac12 ab\sin C=\tfrac12(65)(65)\sin(9.4867^{\circ})=348.178$ ✓，而且 $9.4867+85.2567+85.2567=180.0001^{\circ}$，差別只在捨入。