求 arcsin(0.375) 的精確值，或說明為何不存在，並給出弧度與度的十進位值。

Step-by-step solution

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   先把小數寫成分數。 $0.375 = \tfrac{3}{8}$，所以問題就是找出滿足

   $\sin\theta = \frac{3}{8}, \qquad \theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2}\right]$

   的 $\theta$。正是這個受限的值域讓 $\arcsin$ 成為函數：正弦值相同的角有無窮多個，落在這個區間裡的恰好只有一個。

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   拿可作圖的正弦值清單來比對。 學校裡會用到、正弦值具有封閉形式的角是 $0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}$，對應的正弦值為 $0,\ \tfrac12,\ \tfrac{\sqrt2}{2},\ \tfrac{\sqrt3}{2},\ 1$。而 $\tfrac38 = 0.375$ 都不是——它落在 $0$ 與 $\tfrac12$ 之間，比較靠近 $\tfrac12$。

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   釐清這裡的「精確值」是什麼意思。 沒有任何由有理數開根號組成的式子會等於這個角，所以精確值就是符號本身：

   $\arcsin\!\left(\frac{3}{8}\right)$

   這不是技巧不夠，而是和 $\ln 2$ 或 $\sqrt2$ 本身就已經是精確答案，屬於同一種意思。

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   計算十進位值。 用馬克勞林級數 $\arcsin u = u + \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{3u^5}{40} + \tfrac{15u^7}{336} + \cdots$，代入 $u = 0.375$：$0.375 + 0.008789 + 0.000556 + 0.000047 + 0.000004 = 0.384396$，再把後面的項加進去會推到

   $\arcsin(0.375) \approx 0.3843968\ \text{弧度}$

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   換算成度並檢查。 乘上 $\tfrac{180}{\pi}$：

   $0.3843968 \times 57.295780 \approx 22.0243^{\circ}$

   合理性檢查：$\sin(22.0243^{\circ}) = 0.375000$，而且 $22.0243^{\circ}$ 略小於正弦值達到 $0.5$ 的 $30^{\circ}$，很合理。