從山頂看地面上一點 A 的俯角是 30 度。沿著直的坡面下降四分之三之後，看 A 的俯角變成 15 度。若坡面與水平面成 θ 角，求 tan θ。

Step-by-step solution

1. 1

   建立座標，並把坡長正規化。 因為要求的是角，只有比值有意義，所以把整段坡長取成 $L=1$。山頂 $B$ 於是位在地面上方

   $h=\sin\theta$

   的高度；沿坡面下降距離 $s$，會讓你下降 $s\sin\theta$，同時水平方向朝 $A$ 移動 $s\cos\theta$。

2. 2

   用第一次觀測定出水平距離。 設 $d$ 是從 $B$ 到 $A$ 的水平距離。在 $B$ 處的俯角是 $30^{\circ}$，所以

   $\tan 30^{\circ}=\frac{h}{d}=\frac{\sin\theta}{d}\quad\Longrightarrow\quad d=\sqrt3\,\sin\theta$

3. 3

   寫出第二次觀測。 沿坡面下降 $\tfrac34$ 之後，觀測者位在高度 $\sin\theta-\tfrac34\sin\theta=\tfrac14\sin\theta$，與 $A$ 的水平距離是 $d-\tfrac34\cos\theta$。因此

   $\tan 15^{\circ}=\frac{\tfrac14\sin\theta}{\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta}$

   未知數 $d$ 已經被消掉，只剩下一條只含 $\theta$ 的方程式。

4. 4

   解出 tan θ。 交叉相乘，再把含 $\sin\theta$ 的項整理在一起：

   $\tan 15^{\circ}\left(\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta\right)=\tfrac14\sin\theta$

   $\sin\theta\left(\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14\right)=\tfrac34\tan 15^{\circ}\cos\theta$

   $\tan\theta=\frac{\tfrac34\tan 15^{\circ}}{\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14}$

5. 5

   代入 tan 15° 的精確值。 由於 $\tan 15^{\circ}=2-\sqrt3$，

   $\tan\theta=\frac{3(2-\sqrt3)}{4\sqrt3(2-\sqrt3)-1}=\frac{3(2-\sqrt3)}{8\sqrt3-12-1}=\frac{6-3\sqrt3}{8\sqrt3-13}$

6. 6

   把分母有理化。 分子分母同乘 $8\sqrt3+13$；分母變成 $(8\sqrt3)^{2}-13^{2}=192-169=23$，而分子是

   $(6-3\sqrt3)(8\sqrt3+13)=48\sqrt3+78-72-39\sqrt3=9\sqrt3+6$

   $\boxed{\tan\theta=\frac{6+9\sqrt3}{23}\approx 0.9386}$

7. 7

   檢查答案是否自洽。 數值上 $\theta=\arctan(0.9386)=43.19^{\circ}$。題目的設定要求 $A$ 落在坡腳之外，也就是 $d=\sqrt3\sin\theta>\cos\theta$，這表示 $\tan\theta>\tfrac{1}{\sqrt3}$，即 $\theta>30^{\circ}$——確實滿足 ✓。代回檢驗：取 $\theta=43.19^{\circ}$，$d=\sqrt3(0.6845)=1.1854$，第二次觀測給出 $\arctan\!\left(\tfrac{0.1711}{1.1854-0.5468}\right)=\arctan(0.2679)=15.00^{\circ}$ ✓。