解方程式 3 tan x + √3 = 0，寫出通解，k 為整數。

Step-by-step solution

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   把正切孤立出來。 把常數移項，再除以 $3$：

   $\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

   把它有理化成熟悉的樣子會更好認：$\dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$，所以 $\tan x = -\dfrac{1}{\sqrt3}$。

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   求參考角。 由邊長為 $1$、$\sqrt3$、$2$ 的 $30^{\circ}$–$60^{\circ}$–$90^{\circ}$ 三角形可知 $\tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$。所以參考角是 $\dfrac{\pi}{6}$，也就是 $30^{\circ}$——不是 $\dfrac{\pi}{3}$，在那裡 $\tan = \sqrt3$。

3. 3

   用正負號決定角的位置。 正切在第二與第四象限為負。由於 $\tan$ 是奇函數，主要解就是參考角取負號：

   $x = -\frac{\pi}{6}$

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   週期只加一次，不要加兩倍。 正切的週期是 $\pi$，不是 $2\pi$，所有解都被單一一族涵蓋：

   $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   寫成 $-\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ 會漏掉一半的解；寫成 $\tfrac{\pi}{6} + \pi k$ 則會得到 $\tan x = +\tfrac{1}{\sqrt3}$，正負號就錯了。

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   驗算。 取 $k=0$：$\tan\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{\sqrt3}{3}$，而 $3\left(-\tfrac{\sqrt3}{3}\right) + \sqrt3 = -\sqrt3 + \sqrt3 = 0$ ✓。取 $k=1$：$x = \tfrac{5\pi}{6}$，而 $\tan\tfrac{5\pi}{6} = -\tfrac{\sqrt3}{3}$ ✓，如預期是一個第二象限的解。