在三角形 ABC 中，(cos B + cos A cos C)/(sin B cos C) = a√3/b，且 a = 3、c = 2√3。求 sin A。

Step-by-step solution

1. 1

   用內角和把分子裡的 B 消掉。 任何三角形都有 $A+B+C=\pi$，所以 $B=\pi-(A+C)$，於是

   $\cos B=-\cos(A+C)=\sin A\sin C-\cos A\cos C.$

   這個代換就是整題的關鍵——正是它讓那個彆扭的分子塌下來。

2. 2

   化簡分子。

   $\cos B+\cos A\cos C=\left(\sin A\sin C-\cos A\cos C\right)+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   於是左邊變成

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}.$

3. 3

   用正弦定理把右邊也換成正弦。 由於 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin A}{\sin B}$，

   $\frac{a\sqrt{3}}{b}=\frac{\sqrt{3}\sin A}{\sin B}.$

4. 4

   約分並解出 C。 兩邊相等之後，約掉共同的因式 $\dfrac{\sin A}{\sin B}$（在三角形裡它不為零）：

   $\frac{\sin C}{\cos C}=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ \tan C=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3},$

   因為 $C$ 落在 $(0,\pi)$ 內，而且原式要有定義就必須 $\cos C\neq 0$。

5. 5

   用給定的邊套正弦定理。 由 $a=3$、$c=2\sqrt3$ 與 $\sin C=\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$：

   $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

6. 6

   檢查這個三角形合不合理。 因為 $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$，角 $A$ 必須比 $C=60^\circ$ 小；確實 $\arcsin\tfrac34\approx 48.6^\circ<60^\circ$，所以取銳角是對的，也不會冒出第二個模稜兩可的解。