解 sin²x + sin x = 0，其中 x 在區間 [0, 2π) 內。

Step-by-step solution

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   把它當成 $\sin x$ 的二次式。 代入 $u = \sin x$，方程式就變成 $u^2 + u = 0$。認出二次式的形狀是關鍵一步；完全不需要用到恆等式。

2. 2

   要因式分解，不要相除。 把共同的 $\sin x$ 提出來：

   $\sin x\,(\sin x + 1) = 0$

   不要兩邊除以 $\sin x$——那會悄悄丟掉所有 $\sin x = 0$ 的解，而它們在這裡佔了答案的大半。

3. 3

   拆成兩條簡單的方程式。 乘積為零，只可能是某個因式為零：

   $\sin x = 0 \qquad \text{或} \qquad \sin x = -1$

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   在 $[0, 2\pi)$ 上分別求解。 正弦在週期的兩端與正中間為零，而最小值 $-1$ 只達到一次：

   $\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = 0,\ \pi \qquad (2\pi \text{ 被半開區間排除})$

   $\sin x = -1 \;\Rightarrow\; x = \frac{3\pi}{2}$

5. 5

   把所有根收齊並驗證。 解集是 $\left\{0,\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}$。代回去：在 $x=0$，$0 + 0 = 0$ ✓；在 $x=\pi$，$0 + 0 = 0$ ✓；在 $x = \tfrac{3\pi}{2}$，$(-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$ ✓。在 $[0,2\pi)$ 上掃描 $2$ 百萬個點，零點只出現在 $0$、$\pi$ 與 $1.5\pi$，所以沒有遺漏——特別是常見誘答清單裡的 $\tfrac{2\pi}{3}$ 與 $\tfrac{4\pi}{3}$，代入會得到 $\tfrac34 \pm \tfrac{\sqrt3}{2} \neq 0$。