解 arcsin x + arcsin 2x = π/2。

Step-by-step solution

1. 1

   先確定定義域。 兩個反正弦都必須有定義，所以 $-1\le x\le1$ 而且 $-1\le2x\le1$。第二個條件比較嚴格，給出

   $-\tfrac12\le x\le\tfrac12.$

   落在這個區間外的候選值一律無效，不管代數推出什麼結果。

2. 2

   把其中一個反正弦孤立，再兩邊取正弦。 移項後施以 $\sin$：

   $\arcsin(2x)=\frac{\pi}{2}-\arcsin(x)\;\Longrightarrow\;2x=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right)=\cos(\arcsin x).$

   餘函數恆等式 $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta$，正是讓右邊變得好處理的關鍵。

3. 3

   把 $\cos(\arcsin x)$ 轉成代數式。 令 $\theta=\arcsin x$，則 $\sin\theta=x$ 且 $\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$——在這個區間上 $\cos\theta\ge0$。因此要取正的平方根：

   $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^{2}},$

   方程式於是變成 $2x=\sqrt{1-x^{2}}$。

4. 4

   平方之前先把正負號條件記下來。 平方根永遠不是負的，所以 $2x\ge0$，也就是 $x\ge0$。現在就記下這一點，才能防止增根在平方那一步之後存活下來。平方：

   $4x^{2}=1-x^{2}\;\Longrightarrow\;5x^{2}=1\;\Longrightarrow\;x=\pm\frac{1}{\sqrt5}.$

5. 5

   挑出正確的根並驗證。 條件 $x\ge0$ 把負值排除掉，剩下

   $x=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\approx0.4472,$

   它也落在定義域 $\left[-\tfrac12,\tfrac12\right]$ 內 ✓。直接檢查：$\arcsin(0.4472)=0.46365$、$\arcsin(0.8944)=1.10715$，而 $0.46365+1.10715=1.57080=\tfrac{\pi}{2}$ ✓。被捨棄的根 $x=-\tfrac{1}{\sqrt5}$ 得到的是 $-\tfrac{\pi}{2}$。