解 sin x = −1/2，求所有實數 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先從絕對值找出參考角。 暫時不看正負號：$\sin\theta=\tfrac12$ 發生在特殊角

   $\theta=\frac{\pi}{6}=30^\circ$

   這是由 $30$-$60$-$90$ 三角形來的。所以 $\tfrac{\pi}{6}$ 就是參考角——不必用計算機。

2. 2

   判斷哪些象限的正弦為負。 正弦是單位圓上的 $y$ 座標，所以它在第三象限與第四象限（軸的下方）為負。兩個象限，就代表每轉一圈有兩個解。

3. 3

   建立第三象限的解。 從 $\pi$ 起再量出參考角：

   $x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$

   此處 $\sin\tfrac{7\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓（兩個座標都是負的）。

4. 4

   建立第四象限的解。 從 $2\pi$ 往回量出參考角：

   $x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$

   此處 $\sin\tfrac{11\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓。

5. 5

   用週期延拓。 正弦的週期是 $2\pi$，所以每個解都是這兩個之一再平移整數圈：

   $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{或}\qquad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   兩族都需要：它們相差 $\tfrac{4\pi}{6}=\tfrac{2\pi}{3}$，不是 $2\pi$ 的整數倍。（等價地說，$x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k$ 描述的是同一族第四象限的解。）

6. 6

   在數個 k 上驗證。 在兩族上分別取 $k=-2,\,0,\,3$ 求值，六個情形都得到 $\sin x=-0.500000$ ✓，確認了週期與兩個分支。