某三角形中，長度 13 的邊對著 32° 角，長度 23 的邊對著角 A，邊 x 對著第三個角。假設 A 是銳角，求角 A 與 x 的長度。

Step-by-step solution

1. 1

   把每一邊和它對面的角配對。 正弦定理把一邊和它的對角配在一起：

   $\frac{\sin A}{23}=\frac{\sin 32^\circ}{13}=\frac{\sin C}{x}.$

   把邊和錯誤的角配在一起，是這裡最主要的失敗方式——永遠要確認是「對邊」，不是「鄰邊」。

2. 2

   由第一組比例解出 sin A。

   $\sin A=\frac{23\sin 32^\circ}{13}=\frac{23(0.529919)}{13}=\frac{12.18814}{13}=0.937549.$

   算出來的值小於 $1$，這件事本身就是資訊：如果它超過 $1$，這樣的三角形根本不存在。

3. 3

   取反正弦——並正視多解的問題。 計算機傳回

   $A=\arcsin(0.937549)=69.64^\circ,$

   但 $\sin(180^\circ-69.64^\circ)=\sin(110.36^\circ)$ 是同一個值，所以純就算術而言，鈍角三角形也可能成立。這正是 SSA 模稜兩可的情形。題目說看起來是銳角的角可以當作銳角，所以取

   $A\approx 69.6^\circ.$

4. 4

   求第三個角。

   $C=180^\circ-32^\circ-69.64^\circ=78.36^\circ.$

5. 5

   再用一次正弦定理求 x。

   $x=\frac{13\sin C}{\sin 32^\circ}=\frac{13(0.979421)}{0.529919}=\frac{12.73247}{0.529919}=24.03.$

6. 6

   檢查邊與角的大小順序。 最大的角是 $C=78.4^\circ$，最長的邊是 $x=24.03$；最小的角是 $32^\circ$，最短的邊是 $13$。邊與角的順序一致，本來就該如此。（順帶一提，被捨棄的鈍角分支會給出 $A=110.4^\circ$ 與 $x=14.98$。）