利用恆等式化簡 sin²θ + tan²θ + cos²θ。

Step-by-step solution

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   重新排序，把畢氏恆等式的那一對湊在一起。 加法可以交換，所以式子能改寫成

   $\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)+\tan^{2}\theta$

   在把任何東西轉成正弦餘弦之前，先看出 $\sin^{2}+\cos^{2}$ 這一對，才能讓整個過程只用兩行。

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   套用基本恆等式。

   $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

   於是式子變成 $1+\tan^{2}\theta$。

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   認出第二條畢氏恆等式。 把 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ 整條除以 $\cos^{2}\theta$，得到

   $\tan^{2}\theta+1=\sec^{2}\theta$

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   寫出答案。

   $\boxed{\sec^{2}\theta}$

   在 $\tan\theta$ 與 $\sec\theta$ 有定義的地方都成立，也就是 $\cos\theta\neq 0$。

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   在方便的角度檢查。 取 $\theta=60^{\circ}$：$\sin^{2}=0.75$、$\tan^{2}=3$、$\cos^{2}=0.25$，總和是 $4$；而 $\sec^{2}60^{\circ}=\left(\tfrac{1}{0.5}\right)^{2}=4$ ✓。取 $\theta=45^{\circ}$：$0.5+1+0.5=2$，而 $\sec^{2}45^{\circ}=\left(\sqrt2\right)^{2}=2$ ✓。