化簡 √(1 + tan²α · sin²β)。

Step-by-step solution

1. 1

   忍住直接套 $1+\tan^2=\sec^2$ 的反射動作。 那條恆等式要求正切項單獨站著；這裡它還乘上了 $\sin^2\beta$，所以 $1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta$ 不是 $\sec^{2}\alpha\sin^{2}\beta$，也不是任何這麼漂亮的東西。可靠的路線是全部轉成正弦與餘弦再合併。

2. 2

   把正切改寫。 由 $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，

   $1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1+\frac{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

3. 3

   全部通分到共同分母 $\cos^{2}\alpha$ 上。

   $=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\alpha}$

   化成單一分數，下一步的平方根才能乾淨地拆開。

4. 4

   開平方，並保留絕對值。 由於 $\sqrt{\cos^{2}\alpha}=\left|\cos\alpha\right|$（不是 $\cos\alpha$，因為它可能是負的）：

   $\sqrt{1+\tan^{2}\alpha\sin^{2}\beta}=\frac{\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

5. 5

   用畢氏恆等式化簡分子。 把 $\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha$ 代入再提出公因式：

   $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta=1-\sin^{2}\alpha\left(1-\sin^{2}\beta\right)=1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta$

   所以還有一個等價而且更對稱的形式：

   $\frac{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta}}{\left|\cos\alpha\right|}$

6. 6

   代數字檢查。 在 $\alpha=0.9,\ \beta=2.1$ 時，原式算出 $1.477588$，兩個化簡後的形式也都給出 $1.477588$ ✓。第二種形式還讓範圍一目了然：分子介於 $\left|\cos\alpha\right|$ 與 $1$ 之間，所以整個式子永遠不會小於 $1$。