三角形 ABC 中，(cos B + cos A cos C) / (sin B cos C) = a 乘根號 3 除以 b，且 a = 3、c = 2 乘根號 3。求 sin A。

Step-by-step solution

1. 1

   用三角形內角和把 $\cos B$ 換掉。 任何三角形都有 $A+B+C=\pi$，所以 $B=\pi-(A+C)$，於是

   $\cos B=\cos\!\left(\pi-(A+C)\right)=-\cos(A+C)=-\left(\cos A\cos C-\sin A\sin C\right).$

   只要一個三角恆等式把三個角混在一起，這個代換就是標準的第一步。

2. 2

   把分子縮掉。 加上 $\cos A\cos C$ 之後，兩個 $\cos A\cos C$ 項互相消掉：

   $\cos B+\cos A\cos C=-\cos A\cos C+\sin A\sin C+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   於是左式變成

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}=\frac{\sin A}{\sin B}\cdot\tan C.$

3. 3

   用正弦定理去對上右式。 因為 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$，所以 $\dfrac{\sin A}{\sin B}=\dfrac{a}{b}$，條件式成為

   $\frac{a}{b}\tan C=\frac{a\sqrt3}{b}.$

   邊長為正，所以 $\dfrac{a}{b}$ 可以約掉，得

   $\tan C=\sqrt3\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3}=60^{\circ},$

   這是 $0<C<\pi$ 且 $\cos C\ne 0$ 之下唯一的解。注意題給的恆等式只決定了 $C$ —— 這一段完全沒用到邊長資料。

4. 4

   對已知的一組 $(c,C)$ 用正弦定理。

   $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\ \Longrightarrow\ \sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{4\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

5. 5

   確認這個三角形真的存在且唯一。 因為 $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$，角 $A$ 小於 $C=60^{\circ}$，所以 $A=\arcsin\tfrac34\approx 48.59^{\circ}$，鈍角的另一解 $131.41^{\circ}$ 不可能（那樣就沒有空間留給 $C$ 了）。於是 $B\approx 71.41^{\circ}$、$b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}\approx 3.7913=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}$；把這些值代回原式，兩邊都得到 $1.37055$。