y = sin(2x + π/6) 的圖形向左平移 π/12 個單位，寫出新圖形的方程式。

Step-by-step solution

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   回想水平平移的規則。 把圖形向左平移 $h$ 個單位，等於把式子裡所有的 $x$ 換成 $x+h$；向右平移則用 $x-h$。方向之所以感覺相反，正是因為往左移代表函數要在更小的 $x$ 就達到同樣的輸出值。

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   代入 $x\to x+\dfrac{\pi}{12}$。 取 $h=\tfrac{\pi}{12}$：

   $y=\sin\!\left(2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right).$

   這個代換要作用在整個引數上，所以係數 $2$ 也會乘到平移量——答案不再顯而易見，就是從這裡開始。

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   把引數展開。 把 $2$ 分配進去：

   $2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)=2x+\frac{2\pi}{12}=2x+\frac{\pi}{6},$

   於是引數變成

   $2x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=2x+\frac{\pi}{3}.$

   所以平移 $\tfrac{\pi}{12}$ 會讓相位改變 $\tfrac{\pi}{6}$——是平移量的兩倍，因為角頻率是 $2$。

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   寫出新的方程式。

   $y=\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$

   振幅（$1$）與週期（$\tfrac{2\pi}{2}=\pi$）都沒有變；只有相位移動了，純平移本來就該如此。

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   在兩個點上檢查。 取 $x=0.3$：平移後的原式給出 $\sin\!\left(2(0.3+\tfrac{\pi}{12})+\tfrac{\pi}{6}\right)=0.9970828$，而答案給出 $\sin\!\left(0.6+\tfrac{\pi}{3}\right)=0.9970828$ ✓。取 $x=1.1$，兩者都給 $-0.1054087$ ✓。關於方向還有一個好用的交叉檢查：把原式寫成 $\sin\!\left(2\left(x+\tfrac{\pi}{12}\right)\right)$，可以看出它本身的左移量是 $\tfrac{\pi}{12}$，所以新圖形位在 $\sin 2x$ 左邊 $\tfrac{\pi}{6}$ 處。