求 cos 240° 的精確值。

Step-by-step solution

1. 1

   定出角的位置，並先把正負號決定好。 $240^\circ$ 落在 $180^\circ$ 與 $270^\circ$ 之間，所以位於第三象限。在那裡，單位圓上的 $x$ 與 $y$ 座標都是負的，而餘弦就是 $x$ 座標，所以 $\cos240^\circ$ 必定是負的。在算出任何大小之前先從象限定出正負號，可以避開最常見的錯誤。

2. 2

   求參考角。 從最靠近的水平軸 $180^\circ$ 量起：

   $240^\circ-180^\circ=60^\circ$

   所以參考角是 $60^\circ$，而 $\cos240^\circ$ 的大小就等於 $\cos60^\circ$ 的大小。

3. 3

   使用第三象限的恆等式。 對於寫成 $180^\circ+\theta$ 的角，

   $\cos\!\left(180^\circ+\theta\right)=-\cos\theta$

   代入 $\theta=60^\circ$ 得到

   $\cos240^\circ=-\cos60^\circ$

4. 4

   代入精確的特殊角值。 由 $30$–$60$–$90$ 三角形可知 $\cos60^\circ=\tfrac12$，所以

   $\cos240^\circ=-\frac{1}{2}$

5. 5

   驗算並交叉檢查。 數值上 $\cos240^\circ=-0.5$，誤差在 $10^{-15}$ 以內 ✓。用畢氏恆等式交叉檢查：$\sin240^\circ=-\tfrac{\sqrt3}{2}$，而 $\left(-\tfrac12\right)^{2}+\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^{2}=\tfrac14+\tfrac34=1$ ✓。另外 $240^\circ$ 對應 $\tfrac{4\pi}{3}$ 弧度，單位圓上的點是 $\left(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$。