求 arccos(0.75) 的值，答案同時以度與弧度表示。

Step-by-step solution

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   先弄清楚題目在問什麼。 $\cos^{-1}(0.75)$ 是滿足 $\cos\theta=0.75$ 且 $0\le\theta\le\pi$ 的那個角 $\theta$——這是反餘弦的主值範圍，和 arcsin 不同，它從 $0$ 跑到 $180^{\circ}$，而不是 $-90^{\circ}$ 到 $90^{\circ}$。

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   檢查輸入值並先粗估答案。 $\cos^{-1}$ 的定義域是 $[-1,1]$，而 $0.75$ 就在裡面。由於 $\cos 0^{\circ}=1$、$\cos 60^{\circ}=0.5$，$0.75$ 恰好夾在兩者之間，答案一定落在 $0^{\circ}$ 與 $60^{\circ}$ 之間——而且會比較靠近 $45^{\circ}$，因為 $\cos 45^{\circ}\approx 0.707$。這個粗估正是抓出計算機模式設錯的關鍵。

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   認清 $0.75$ 不是特殊角。 它不像 $\tfrac12$、$\tfrac{\sqrt2}{2}$ 或 $\tfrac{\sqrt3}{2}$，$0.75$ 不對應任何標準三角形，所以沒有精確的封閉形式，確實非用計算機不可。

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   先以度數求值。

   $\cos^{-1}(0.75)=41.4096^{\circ}\approx 41.41^{\circ}$

   這個值落在 $0^{\circ}$ 與 $60^{\circ}$ 之間，而且略小於 $45^{\circ}$，跟先前的預測完全吻合。

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   換算成弧度。 乘上 $\dfrac{\pi}{180}$：

   $41.4096\times\frac{\pi}{180}=0.7227\ \text{弧度}$

   順手檢查：$0.7227$ 略小於 $\tfrac{\pi}{4}=0.7854$，和角度略小於 $45^{\circ}$ 一致。反向驗證：$\cos(0.7227)=0.75000$ ✓。