解 3sin(0.5x − 3) + 1 = 3，求所有實數 x。

Step-by-step solution

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   先把正弦因式孤立出來。 正弦還被係數和平移埋著的時候，三角方面什麼都做不了。兩邊減 $1$，再除以 $3$：

   $3\sin(0.5x-3)=2\qquad\Longrightarrow\qquad \sin(0.5x-3)=\frac{2}{3}$

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   確認解確實存在。 正弦的值只落在 $[-1,1]$ 內，而 $\tfrac{2}{3}\approx0.667$ 就在其中，所以解存在。（如果右邊超過 $1$，這條方程式就無解——這個檢查值得在動手做代數之前先做。）

3. 3

   把正弦通解的兩個分支都寫出來。 令 $\theta=0.5x-3$，方程式 $\sin\theta=\tfrac23$ 在每個週期裡有兩族解，因為正弦上升時取到這個值一次、下降時又取到一次：

   $\theta=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k\qquad\text{或}\qquad \theta=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

   只留下第一支，是這裡最常見的單一錯誤。

4. 4

   把內層的變換還原。 加 $3$ 再乘 $2$。乘以 $2$ 也會把 $2\pi k$ 加倍成 $4\pi k$——$\sin(0.5x-3)$ 對 $x$ 的週期是 $\tfrac{2\pi}{0.5}=4\pi$，不是 $2\pi$：

   $x=6+2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k\qquad\text{或}\qquad x=6+2\pi-2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k$

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   算出主要解的數值。 $\arcsin\!\left(\tfrac23\right)\approx0.7297$，所以兩個基準解是 $x\approx6+1.4595=7.4595$ 與 $x\approx6+6.2832-1.4595=10.8237$。

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   兩個都代入驗證。 對 $x\approx7.4595$：$0.5x-3\approx0.7297$，而 $3\sin(0.7297)+1=3.0000$ ✓。對 $x\approx10.8237$：$0.5x-3\approx2.4119$，而 $3\sin(2.4119)+1=3.0000$ ✓。在任一個上加上 $4\pi$ 的整數倍，都會重現同樣的值。