判斷對錯：tan π = 0，並說明理由。

Step-by-step solution

1. 1

   先把角換算一下。 由於 $\pi$ 弧度 $=180^{\circ}$，題目問的是半圈的正切——也就是單位圓上位於負 $x$ 軸的點 $(-1,0)$。

2. 2

   使用商的恆等式。 依定義，

   $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},$

   所以 $\tan\pi$ 的值完全由那個點的座標決定：$\sin\pi$ 是 $y$ 座標，$\cos\pi$ 是 $x$ 座標。

3. 3

   把兩個座標讀出來。 在 $\theta=\pi$ 時，

   $\sin(\pi)=0,\qquad \cos(\pi)=-1.$

   正弦是零，因為這個點正好落在水平軸上；餘弦是 $-1$，因為這個點在原點左方一個單位。

4. 4

   相除，並確認分母不為零。 代入後得

   $\tan(\pi)=\frac{0}{-1}=0.$

   所以這個敘述是對的。分母是負的並不會讓答案變負——零除以任何非零數都是零，不帶正負號。

5. 5

   對照正切失效的情形。 正切沒有定義的地方，正好是 $\cos\theta=0$ 之處，也就是 $\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$；在那裡商會變成非零數除以零。而它的零點在 $\sin\theta=0$ 之處，也就是 $\theta=k\pi$——所以 $\tan0=\tan\pi=\tan2\pi=0$，而且 $\tan$ 的週期是 $\pi$ 而不是 $2\pi$。