化簡 sin(9x)/cot(12x)。

Step-by-step solution

1. 1

   把餘切換成它的定義。 商的恆等式是

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},$

   所以取 $\theta=12x$ 之後，式子變成

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}.$

   只要有倒數三角函數卡在彆扭的位置，先改寫成正弦與餘弦幾乎永遠是對的第一步。

2. 2

   除以一個分數，就是乘上它的倒數。 繁分數 $\dfrac{A}{B/C}$ 等於 $A\cdot\dfrac{C}{B}$：

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

   經典的錯誤是寫成 $\sin(9x)\cdot\frac{\cos(12x)}{\sin(12x)}$——除以 $\cot$ 等於乘上 $\tan$，不是乘上 $\cot$。

3. 3

   認出正切。 由於 $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$，

   $\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\tan(12x).$

   答案也可以留成 $\dfrac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}$；兩種形式都對，而用 $\tan$ 的那一版比較精簡。

4. 4

   寫出定義域限制。 原式要求 $\cot(12x)$ 有定義且不為零，所以必須 $\sin(12x)\ne0$ 且 $\cos(12x)\ne0$，也就是 $12x\ne\frac{k\pi}{2}$。化簡後的 $\sin(9x)\tan(12x)$ 只需要 $\cos(12x)\ne0$，因此有定義的點比原式稍多一些——在兩者都說得通的地方，兩式相等。

5. 5

   用數值檢查。 取 $x=0.1$：$\sin(0.9)=0.783327$、$\cot(1.2)=0.3887796$，所以原本的商是 $\frac{0.783327}{0.3887796}=2.014836$；而 $\sin(0.9)\tan(1.2)=0.783327\times2.572152=2.014836$ ✓。在兩個函數都離極點很遠的地方吻合，代數就可以放心了。