判斷下列各函數是偶函數、奇函數或兩者皆非：f(x) = 4x³ − 3x² + 5、f(x) = −7x² + 1、y = cos(−x)、y = sin x / cos x、y = csc x、y = tan x / x。

Step-by-step solution

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   先把判別法定下來。 當 $f(-x)=f(x)$ 時 $f$ 是偶函數；當 $f(-x)=-f(x)$ 時是奇函數。對多項式有個捷徑：只有偶次項就是偶函數，只有奇次項就是奇函數，兩者混在一起則皆非。（常數算 $x^0$，屬於偶次。）

2. 2

   把兩個多項式歸類。 $4x^{3}-3x^{2}+5$ 同時含有奇次項 $x^3$ 與偶次項 $x^2$、$x^0$，所以是兩者皆非。而 $-7x^{2}+1$ 的每一項次數都是偶數，所以是偶函數。

3. 3

   先化簡 cos(−x) 再歸類。 餘弦是偶函數，所以 $\cos(-x)=\cos x$ — 這個式子只是餘弦函數換了個樣子，因此是偶函數。直接檢驗：把 $x$ 換成 $-x$ 會得到 $\cos(x)$，與原式相同。

4. 4

   判斷 sin x / cos x。 它就是 $\tan x$。由 $\sin(-x)=-\sin x$ 與 $\cos(-x)=\cos x$：

   $\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x,$

   所以它是奇函數。

5. 5

   判斷 csc x。 因為 $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$，而正弦是奇函數，

   $\csc(-x)=\frac{1}{-\sin x}=-\csc x,$

   所以它是奇函數。奇函數的倒數仍然是奇函數。

6. 6

   判斷 tan x / x。 正切是奇函數、$x$ 也是奇函數，而奇函數除以奇函數會是偶函數：

   $\frac{\tan(-x)}{-x}=\frac{-\tan x}{-x}=\frac{\tan x}{x},$

   所以它是偶函數。最後歸類 — 偶函數： $-7x^2+1$、$\cos(-x)$、$\tfrac{\tan x}{x}$；奇函數： $\tfrac{\sin x}{\cos x}$、$\csc x$；兩者皆非： $4x^3-3x^2+5$。