解 2sin x − 1 = 0，求所有實數解 x。

Step-by-step solution

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   把正弦孤立出來。 兩邊加 $1$，再除以 $2$：

   $2\sin x=1\qquad\Longrightarrow\qquad \sin x=\frac{1}{2}$

   由於 $\tfrac12$ 落在 $[-1,1]$ 內，解是存在的。

2. 2

   在第一象限定出這個角。 $\tfrac12$ 是個特殊值：由 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 三角形可得 $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$，所以 $x=\tfrac{\pi}{6}$ 是一個解——不必動用計算機。

3. 3

   在同一圈裡找出第二個解。 正弦在第一象限和第二象限都是正的，而且 $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$。所以它的鏡射

   $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

   同樣成立。漏掉這個分支，是正弦方程式最常見的錯誤。

4. 4

   用週期延拓。 $\sin$ 每 $2\pi$ 重複一次，所以每個解都是這兩個基準角再平移整數圈：

   $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{或}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

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   看看為什麼兩族不會合併。 從 $\tfrac{\pi}{6}$ 到 $\tfrac{5\pi}{6}$ 的間距是 $\tfrac{2\pi}{3}$，不是 $2\pi$ 的整數倍，所以兩族誰也不包含誰——兩個都真的必要。

6. 6

   代入驗證。 $2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓，且 $2\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓。在兩族上分別取 $k=-2$ 與 $k=3$ 測試，也都在機器精度內得到 $0$ ✓。