解 sin x · sin x = 1/2，寫出通解。

Step-by-step solution

1. 1

   把乘積寫成平方。 左邊是 $\sin x$ 自己乘自己，所以

   $\sin^{2}x=\frac12.$

   這樣寫很重要，因為它讓下一步——開平方，而且要取兩個正負號——變得一目了然。

2. 2

   開平方，兩個正負號都保留。 由 $\sin^{2}x=\tfrac12$，

   $\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt2}=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$

   捨掉負的分支就會漏掉一半的解。$\tfrac{\sqrt2}{2}$ 的參考角是 $\tfrac{\pi}{4}$（也就是 $45^{\circ}$），所以所有解都落在離某條軸 $45^{\circ}$ 的位置。

3. 3

   寫出四族解，每個象限一族。 對 $\sin x=+\tfrac{\sqrt2}{2}$，$[0,2\pi)$ 內的解是 $\tfrac{\pi}{4}$ 與 $\tfrac{3\pi}{4}$；對 $\sin x=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ 則是 $\tfrac{5\pi}{4}$ 與 $\tfrac{7\pi}{4}$。各加上 $2k\pi$ 就得到

   $x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{5\pi}{4}+2k\pi,\ \frac{7\pi}{4}+2k\pi.$

4. 4

   把四族合併成一族。 四個基準角 $\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}$ 等距排列，彼此相隔 $\tfrac{\pi}{2}$，所以整個解集塌成單一的等差族：

   $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}\quad(45^{\circ}+90^{\circ}k).$

   這個精簡的形式不只比較好寫，當這條方程式只是更大問題裡的一環時，也好用得多。

5. 5

   用二倍角恆等式交叉檢查。 由於 $\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，方程式等價於

   $\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac12\;\Longrightarrow\;\cos 2x=0\;\Longrightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\Longrightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.$

   走恆等式這條路可以直接得到合併後的解族，也獨立地確認了答案 ✓。