飛機 Q 以 450 km/h 沿與水平面夾 45° 的路徑爬升。0.7 分鐘後，Q 比高度 5 km 的飛機 P 高還是低？

Step-by-step solution

1. 1

   把速度拆成水平與鉛直兩部分。 $450$ km/h 這個速率是沿著飛行路徑量的，不是垂直向上的。在由路徑、地面與高度構成的直角三角形裡，高度是爬升角的對邊，所以

   $v_y=450\sin 45^{\circ}.$

   直接把速率當成爬升率，是這題的經典錯誤。

2. 2

   算出鉛直速度。 由 $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$，

   $v_y=450\cdot \tfrac{\sqrt2}{2}=318.1981\ \text{km/h}.$

3. 3

   把時間換算成小時。 速率是以小時為單位，時間卻是分鐘，所以

   $t=\frac{0.7}{60}=0.0116667\ \text{小時}.$

   在這一步混用單位是第二個經典錯誤。

4. 4

   算出爬升的高度。

   $h_{Q}=v_y\,t=318.198\times 0.0116667=3.71231\ \text{km}.$

   等價地說，沿路徑飛 $5.25$ km，再取其中 $\sin 45^{\circ}$ 的比例。這裡 $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ 是無理數，所以精確高度是 $5.25\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{21\sqrt2}{8}$ km，數值為 $3.712311$ km。

5. 5

   與飛機 $P$ 比較。 因為 $3.7123 < 5$，飛機 $Q$ 比飛機 $P$ 低。若要超過 $P$，在相同速率與角度下需要 $t>0.9428$ 分鐘。