飛機 A 以 500 km/h 沿與水平面夾 30° 的路徑爬升。1.2 分鐘後，A 比高度 7 km 的飛機 B 高還是低？

Step-by-step solution

1. 1

   把速度拆成水平與鉛直兩部分。 $500$ km/h 這個速率是沿著飛行路徑量的，不是垂直向上的。在由路徑、地面與高度構成的直角三角形裡，高度是爬升角的對邊，所以

   $v_y=500\sin 30^{\circ}.$

   直接把速率當成爬升率，是這題的經典錯誤。

2. 2

   算出鉛直速度。 由 $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$，

   $v_y=500\cdot \tfrac12=250\ \text{km/h}.$

3. 3

   把時間換算成小時。 速率是以小時為單位，時間卻是分鐘，所以

   $t=\frac{1.2}{60}=0.02\ \text{小時}.$

   在這一步混用單位是第二個經典錯誤。

4. 4

   算出爬升的高度。

   $h_{A}=v_y\,t=250\times 0.02=5\ \text{km}.$

   等價地說，沿路徑飛 $10$ km，再取其中 $\sin 30^{\circ}$ 的比例。因為 $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$ 是精確值，高度恰好是 $5$ km，完全沒有捨入。

5. 5

   與飛機 $B$ 比較。 因為 $5 < 7$，飛機 $A$ 比飛機 $B$ 低。若要超過 $B$，在相同速率與角度下需要 $t>1.68$ 分鐘。