Trigonometry
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Real trigonometry questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
Las soluciones son x = 5π/4 + 2πn y x = 7π/4 + 2πn. Un seno negativo sitúa el ángulo en los cuadrantes tercero y cuarto, ambos con ángulo de referencia π/4.
El ángulo de referencia es π/3 y el seno es positivo en los cuadrantes I y II, así que las soluciones son x = π/3 + 2πn y x = 2π/3 + 2πn para todo entero n.
Los ángulos son aproximadamente 143.13° y 216.87° (2.498 y 3.785 rad). Toma arccos(0.8) como ángulo de referencia y sitúalo en los cuadrantes II y III, donde el coseno es negativo.
Los ángulos son aproximadamente 9.49°, 85.26° y 85.26°. Con los tres lados y ningún ángulo, el teorema del coseno es la única entrada posible.
El arco mide 5π/2 = 7.854 cm y el área es 45π/4 = 35.343 cm². Convierte los 50 grados en 5π/18 radianes y aplica después s = rθ y A = (1/2)r²θ.
El arco mide 14π/3 = 14.661 yd y el área es 28π = 87.965 yd². Convierte 70 grados a 7π/18 radianes antes de usar s = rθ y A = (1/2)r²θ.
Las dos valen 2π/3 = 2.094. Con r = 2 el factor (1/2)r² es igual a r, así que la longitud del arco en ft y el área del sector en ft² comparten el mismo número: una coincidencia propia de r = 2.
El arco mide 2π/3 = 2.094 m y el área es 4π/3 = 4.189 m². Reducir el ángulo a la mitad y duplicar el radio deja igual la longitud del arco, pero duplica el área del sector.
Se convierten los 120 grados a 2π/3 radianes y luego s = rθ = 3 × 2π/3 = 2π = 6.283 m, exactamente un tercio de la longitud de la circunferencia.
La suma es π/2 cuando x > 0 y −π/2 cuando x < 0, e indefinida en x = 0. Los dos ángulos llevan el signo de x, así que el valor es (π/2)·sgn(x) y nunca 0.
Pares: −7x² + 1, cos(−x) y tan x/x. Impares: sen x/cos x y csc x. Ninguna de las dos: 4x³ − 3x² + 5, cuyos términos de paridad mixta no dejan ninguna simetría.
La altura es 1.75√3 = 3.03 km, por debajo de la referencia de 4.5 km. El método es el mismo que en el caso de 600 km/h, pero el tiempo más corto invierte la conclusión.
El avión Q sube a 3.71231 km, por debajo de los 5 km del avión P, así que la respuesta es «más bajo». La velocidad vertical es 450 sen 45° = 318.198 km/h y 0.7 minutos son 0.0116667 horas.
El avión A asciende hasta 5 km, por debajo de los 7 km del avión B, así que la respuesta es «más bajo». La velocidad vertical es 500 sen 30° = 250 km/h y 1.2 minutos son 0.02 horas.
La altura es 9√3 = 15.59 km, mayor que los 10 km de comparación. Solo cuenta la componente vertical v sen 60, y los 1.8 minutos hay que pasarlos a 0.03 horas.
El avión E asciende hasta 7.7 km, por debajo de los 8 km del avión F, así que la respuesta es «más bajo». La velocidad vertical es 440 sen 30° = 220 km/h y 2.1 minutos son 0.035 horas.
Respuesta: [−5π/6, 5π/6]. La desigualdad se reduce a cos x ≥ −√3/2 y, sobre un periodo completo centrado en 0, eso es la única banda central del intervalo.
Las dos ciudades están a unas 695.8 millas de distancia. Se restan las latitudes para obtener un ángulo central de 10 grados 4 minutos, se convierte a radianes y se aplica s = r·θ.
arccos(0.33) = 1.234493 rad = 70.7312 grados. Como 0.33 no es un valor especial del coseno, la respuesta exacta se queda como arccos(0.33) y solo después viene el decimal.
El resultado es unos 41.41 grados, es decir 0.7227 radianes. El argumento no corresponde a un ángulo notable, así que hace falta calculadora, y debe estar en el modo de ángulo correcto.
arccos(1/√3) es alrededor de 0.9553 radianes, o 54.7356 grados. El valor 0.57735 no es el coseno de ningún ángulo notable, así que el ángulo no tiene forma cerrada en términos de π.
La respuesta es π/4, un ángulo positivo. √2/2 es el coseno de 45 grados, y el recorrido del arcocoseno, de 0 a π, obliga a quedarse con la respuesta del primer cuadrante.
arcsen(0.375) = arcsen(3/8) ≈ 0.384397 rad ≈ 22.0243°. Solo los senos de 0, ±1/2, ±√2/2, ±√3/2 y ±1 dan ángulos en forma cerrada, y 3/8 no está entre ellos.
arcsin(0.395) ≈ 0.406068 rad ≈ 23.2660°. El valor 0.395 = 79/200 no es el seno de un ángulo especial, así que la respuesta exacta se queda en forma de seno inverso.
El resultado es π/3, o 60 grados. Aunque sin(2π/3) también vale √3/2, el arcoseno solo devuelve el valor dentro de [−π/2, π/2], así que 2π/3 no es la respuesta.
La respuesta es unos 0.002999991 radianes, o 0.1719 grados. Para datos muy pequeños arctan(x) es casi exactamente x, y aquí difieren solo en el octavo decimal.
La respuesta es unos 12.68 grados, o 0.2213 radianes. Reduce primero la razón a 0.2250 y después toma la tangente inversa: una razón pequeña significa un ángulo pequeño.
El valor es de unos 0.75666 rad, o 43.35 grados. La fracción se reduce a 929/984, que no es un valor especial de la tangente, así que no existe ningún ángulo exacto.
El valor es aproximadamente 0.46365 radianes, o 26.565 grados. Es el ángulo cuya tangente es 1/2 y no es un ángulo especial, así que no existe una forma cerrada exacta.
El valor exacto es −√2/2, unos −0.7071. El ángulo cae en el tercer cuadrante, donde el coseno es negativo, y su ángulo de referencia es 45 grados.
La respuesta es −1/2. Como 240 = 180 + 60, el ángulo cae en el tercer cuadrante, donde el coseno es negativo, así que cos 240 es igual a menos cos 60, es decir −1/2.
La respuesta es −1/8. Los ángulos se duplican cada vez, así que la identidad cos(x)cos(2x)cos(4x) = sen(8x)/(8 sen x) colapsa todo el producto en un solo paso.
El valor es de unos 0.9925. Al convertir 7 grados a 0.12217 radianes y usar la serie 1 − x²/2 + x⁴/24 se reproducen los mismos cuatro decimales.
La respuesta es aproximadamente 0.99006. sin(3 radianes) vale 0.14112 porque 3 queda justo por debajo de π, y el coseno de ese número pequeño está muy cerca de 1.
La respuesta es aproximadamente 0.3420. 20 grados no es un ángulo especial construible, así que no existe ninguna expresión con radicales ordinarios y la calculadora es realmente necesaria.
El resultado es −raíz de 2 sobre 2, unos −0.7071. Los 225 grados caen en el tercer cuadrante, donde el seno es negativo, y su ángulo de referencia es un limpio 45 grados.
La respuesta es −1. Como 315 = 360 − 45, el ángulo cae en el cuarto cuadrante, donde la tangente es negativa, así que tan 315 es igual a menos tan 45, es decir −1.
El valor exacto es √(5 − 2√5), unos 0.72654. La tangente tiene periodo π, así que 4.2π se reduce a 0.2π = π/5, que es el ángulo de 36 grados.
El valor es de unos 0.1228. En radianes, 7 grados son 0.12217, y para ángulos pequeños tan x se parece a x, así que la respuesta apenas supera la propia medida en radianes.
El valor es alrededor de 0.8794. Como cos(20 grados) es 0.9396926, al duplicarlo queda 1.8793852, y al restar 1 se obtiene 0.8793852, que redondea a 0.8794.
La respuesta es 5π/6, no −π/6. El recorrido del arcocoseno es de 0 a π, así que un dato negativo cae en el segundo cuadrante, en π menos el ángulo de referencia π/6.
La respuesta es ±√((7√145 − 79)/18), es decir ±0.5422 aproximadamente. Sustituyendo u = sen²x queda una cuadrática, y solo la raíz positiva puede ser un cuadrado.
Respuesta: sin 2x = ±2√2/3. Al elevar al cuadrado queda 6u² + u − 1 = 0 con u = sin²x = 1/3, y cos x = √6/3 queda forzado a ser positivo mientras que sin x conserva ambos signos.
El resultado es sen A = 3/4. La clave es cos B = −cos(A + C), que reduce el numerador a sen A sen C y convierte la condición en tan C = √3, es decir, C = 60 grados.
sen A = 3/4. Sustituir B por π − A − C convierte el numerador en sen A sen C, el cociente se reduce a tan C = √3, y el teorema del seno remata el problema.
La respuesta es aproximadamente 41.30 grados, o 0.7208 radianes. Una caída de una centésima en el seno desde 0.67 desplaza el ángulo unos tres cuartos de grado.
La respuesta es aproximadamente 42.07 grados, o 0.7342 radianes. Como 0.67 queda apenas por debajo de sen(45) = 0.7071, el ángulo también tiene que caer apenas por debajo de 45 grados.
La respuesta es aproximadamente 53.13 grados, o 0.9273 radianes. Es el ángulo del triángulo 3-4-5, ya que sen(θ) = 4/5 = 0.8 exactamente, lo que sirve de comprobación.
De s = r·θ se obtiene θ = s/r = 3/5 = 0.600 radianes, unos 34.38 grados. Las unidades se cancelan, y por eso la medida en radianes es adimensional.
Al despejar en A = (1/2)r²θ se obtiene θ = 2A/r² = 6/25 = 0.240 radianes, unos 13.75 grados.
De s = rθ se obtiene r = s/θ = 2/(1/3) = 6 pies. Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su recíproco.
Se despeja A = (1/2) r² θ como r = √(2A/θ). Con A = 2 y θ = 1/3 esto da r² = 12, así que r = 2√3 = 3.464 ft.
Alcanza 5 km, así que sigue por debajo del avión que vuela a 7 km. Se multiplica la velocidad de 500 km/h por sen 30° para obtener la velocidad vertical y luego por el tiempo en horas.
Respuesta: verdadero. El coseno es la coordenada x en la circunferencia unitaria, y 180 grados cae en (−1, 0), así que cos(180°) = −1 exactamente, no por aproximación.
Verdadero. Como 7π/6 = π + π/6 está en el tercer cuadrante, sen(7π/6) = −1/2, y la cosecante es el recíproco del seno, así que csc(7π/6) = 1/(−1/2) = −2 exactamente.
La función sen x / x es par y cos x / x es impar. Dividir una función impar entre la función impar x da un resultado par, mientras que dividir una función par entre x da uno impar.
Respuesta: verdadero. Como tan = sen/cos y sen(π) = 0 mientras que cos(π) = −1, el cociente es 0/(−1) = 0. Un numerador nulo con denominador no nulo da simplemente cero.
Una escalera que llega a 24 ft en la pared con la base a 7 ft mide 25 ft y forma unos 73.7° con el suelo. Pitágoras da la longitud; el arcotangente, el ángulo.
Encajan dos triángulos: a = 75√3 + 15√39 = 223.58 o a = 75√3 − 15√39 = 36.23. El lado desconocido aparece al cuadrado y en grado uno, lo que da una cuadrática.
A vale unos 69.6 grados y x unos 24.03. sen A = 23 sen 32 / 13 = 0.9375; la nota de que A se ve agudo descarta el ángulo obtuso acompañante de 110.4 grados.
El periodo es 2π/3. Solo importa el coeficiente de x, así que se divide 2π entre 3; la amplitud 2 y el desfase −2π dejan el periodo intacto.
El periodo es 2π. La cosecante es la recíproca del seno, así que hereda el periodo 2π del seno, y el factor 3 no afecta en absoluto al periodo.
Los dos miembros se reducen a tan²A + cos²A. El izquierdo da tan²A + cos²A de forma directa; el derecho queda como sec²A − sin²A, y sec²A = 1 + tan²A junto con 1 − sin²A = cos²A cierran la brecha.
Los ángulos de referencia son 30°, 45°, π/3 y π/4. Identifica primero el cuadrante y mide después hasta el semieje x más cercano: una regla corta por cuadrante.
Para x > 0 vale π/2 − arctan x; para x < 0 vale −π/2 − arctan x. El signo de x decide la constante, porque el recorrido principal abarca solo π radianes.
El área es 3π ≈ 9.425 m². Convierte 120 grados a 2π/3 radianes y aplica A = (1/2)(9)(2π/3) = 3π: exactamente la tercera parte del área del círculo completo.
La respuesta es cos(2x) + 5. La identidad de cofunción sen(θ + π/2) = cos(θ) se aplica con θ = 2x, y el 5 que se suma solo eleva la línea media.
Respuesta: sen(9x)tan(12x). Dividir entre cot(12x) = cos(12x)/sen(12x) equivale a multiplicar por su recíproco sen(12x)/cos(12x), y ese cociente no es más que tan(12x).
Respuesta: sin²(A)/cos(A) − 1. Reescribir cot A como cos A/sin A convierte el primer cociente en una razón tipo tangente, y csc A por sin A se reduce a 1.
Agrupe primero el par pitagórico: sen²θ + cos²θ = 1, y queda 1 + tan²θ, que es exactamente la identidad de sec²θ.
La expresión vale √(1 − sen²α cos²β)/|cos α|. Escribir tan α como sen α / cos α deja todo sobre cos²α antes de extraer la raíz.
Se toma la longitud de la ladera igual a 1 y se elimina la distancia horizontal entre las dos observaciones. Usando tan 15 = 2 − √3 resulta tan θ = (6 + 9√3)/23, aproximadamente 0.9386 (θ ≈ 43.2 grados).
Las soluciones son 7π/24, 23π/24, 31π/24 y 47π/24. Sustituir t por todo el argumento estira el intervalo hasta [π/4, 17π/4), que contiene cuatro soluciones.
La respuesta es x = π/6 + 2πk o x = 5π/6 + 2πk para cualquier entero k. El seno vale 1/2 dos veces por vuelta, así que π/6 por sí solo es apenas la mitad del conjunto solución.
Dos familias la resuelven: y = π para todo x, y sen(x + y/2) = 2 sen(y/2), que exige |sen(y/2)| ≤ 1/2. La rama y = π se pierde con facilidad si se cancela cos(y/2).
La respuesta es x = 6 + 2arcsen(2/3) + 4πk y x = 6 + 2π − 2arcsen(2/3) + 4πk. Despeja el seno y usa después las dos ramas de la solución general.
La solución general es x = −π/6 + πk. Al despejar queda tan x = −√3/3, un valor cuyo ángulo de referencia es π/6, y la tangente se repite cada π.
Respuesta: x = ±π/6 + kπ. Al extraer la raíz cuadrada queda cos x = ±√3/2, y sus cuatro ángulos base de una vuelta se funden en dos familias separadas por π.
x = nπ ± arcsen(√((√145 − 1)/12)), es decir, unos nπ ± 1.2843 radianes. Solo una raíz de 6u² + u − 6 = 0 cae dentro del rango admisible 0 ≤ u ≤ 1.
La solución es x ≈ 440.67. Al elevar al cuadrado y aplicar sec²θ − 1 = tan²θ, la ecuación se reduce a x·tan 20° = √25725.16, de donde x = √25725.16 / tan 20°.
La solución es x ≈ 284.44. La constante bajo la raíz es 26.8² + 100² = 10718.24, y al dividir su raíz cuadrada entre tan 20° = 0.36397 sale x directamente.
La solución es x ≈ 345.26, no 345.1. Tras elevar al cuadrado, sec²20° − 1 = tan²20°, así que x = √15791.21 / tan 20°, es decir, 125.6631 dividido entre 0.3639702.
Respuesta: a = 6.32857 grados (y también 172.52555 grados). Divide entre el factor común 89.474 y usa después la forma del ángulo auxiliar R sen(a + φ) con R = √1.0001.
Respuesta: x = √5/5, unos 0.4472. Tomar el seno en ambos miembros convierte la ecuación en 2x = √(1 − x²), cuya condición de signo descarta la raíz negativa.
Respuesta: x = 1.227111 y x = 5.818835 radianes. La transformación de suma en producto deja 2cos(3x/2 − π/6)cos(x/2 − π/6), que no tiene raíces en forma cerrada.
Respuesta: x = 1.227111 y x = 5.818835 radianes. Desarrolla el ángulo compuesto, reduce a la cuártica 4c⁴ + 2c³ − 4c² − 2c + 1 = 0 en c = cos x y descarta las raíces extrañas.
x = ±arctan(√(−cos t)) + kπ, y únicamente cuando cos t ≤ 0. Como tan²x nunca es negativo, un cos t positivo deja la ecuación sin ninguna raíz real.
Las soluciones son x = 2π/3 + 2πk y x = 4π/3 + 2πk. Al multiplicar por sen x queda 2cos²x − cos x − 1 = 0, y hay que rechazar la raíz cos x = 1 porque exige sen x ≠ 0.
La respuesta es x = 3π/8 + (π/2)k. Al multiplicar ambos miembros por 2, sen 2x cos 2x se convierte en sen 4x y el producto de dos funciones colapsa en una sola ecuación con seno.
Hay cuatro soluciones: x = π/6, π/3, 7π/6 y 4π/3. Resuelve primero para 2x en [0, 4π] y divide después cada ángulo entre 2, lo que duplica el número de soluciones frente a sen x.
Respuesta: sen 2x = ±2√2/3. Toma u = sen²x para llegar a 6u² + u − 1 = 0, descarta la raíz negativa y usa después la identidad sen²2x = 4 sen²x cos²x.
Respuesta: x = π/4 + kπ/2 para cualquier entero k. Al extraer la raíz cuadrada queda sen x = ±√2/2, y las cuatro familias resultantes se funden en una sola progresión aritmética.
Las soluciones en [0, 2π) son 0, π y 3π/2. Factoriza la ecuación como sen x (sen x + 1) = 0 y resuelve por separado sen x = 0 y sen x = −1.
La respuesta es x = 7π/6 + 2πk o 11π/6 + 2πk. El seno es negativo en los cuadrantes tercero y cuarto, y π/6 es el ángulo de referencia en los dos.
Las soluciones son sen x = 3/4 y sen x = −1. Usa cos 2x = 1 − 2 sen²x para convertir la ecuación en 4t² + t − 3 = 0 y resuelve después cada ecuación con seno.
La respuesta es θ = π/4 + kπ, o bien 45 + 180k grados. La tangente se repite cada media vuelta, así que tanto π/4 como 5π/4 la resuelven: una sola familia las recoge todas.
Respuesta: y = sen(2x + π/3). Sustituir x por x + π/12 añade 2 × π/12 = π/6 a la fase, así que un desplazamiento de π/12 mueve la fase exactamente el doble.
Con alfa = 36°, gamma = 50° y b = 78.2, el área es de unos 1380.1. Halla el tercer ángulo y aplica K = b² sen(alfa) sen(gamma) / (2 sen(beta)) paso a paso.
Respuesta: a = kπ − π/4 para cualquier entero k, siendo 3π/4 el menor valor positivo. Un seno desplazado es impar exactamente cuando su fase total es un múltiplo de π.
La ecuación es falsa, así que no tiene solución. Como cos(2π) = 1, el miembro derecho vale 5, y 10 no es 5; también se deduce de la cota 5 cos x ≤ 5.
Respuesta: tan(−π/6). Ambas valen −1/√3, porque la tangente tiene periodo π y es impar; tan(7π/6) y tan(−5π/6) valen +1/√3, y cot(5π/6) vale −√3.
Solo y = cos(5πx/4) es par. Al evaluar f(−x) se ve que las opciones con seno, tangente y cosecante cambian de signo, así que esas tres son impares.
Solo son posibles tan(m) = 2 y sen(m) = −0.9. Las demás fallan porque el seno y el coseno viven en [−1, 1], o porque cot(0), csc(π) y la arcosecante de π/2 no están definidos.
tan(30 grados) = 1/√3 = √3/3, unos 0.5774. Sale de sen 30 entre cos 30 con el denominador racionalizado; √3 es en realidad tan(60 grados).