Expresa arctan(1/x) en términos de arctan(x), para x positivo y para x negativo.

Step-by-step solution

1. 1

   Anotar el dominio. La expresión $\tfrac1x$ exige $x\neq 0$, así que la identidad tendrá dos ramas y nada que decir en $x=0$.

2. 2

   Deducir la rama positiva a partir de ángulos complementarios. Para $x>0$, sea $\theta=\arctan x$, de modo que $0<\theta<\tfrac{\pi}{2}$. En un triángulo rectángulo de catetos $1$ y $x$ los dos ángulos agudos son complementarios, e intercambiar cuál cateto es el 'opuesto' reemplaza $x$ por $\tfrac1x$:

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x>0$

3. 3

   Ver por qué la rama negativa necesita otra constante. Para $x<0$ tanto $\arctan x$ como $\arctan\tfrac1x$ están en $\left(-\tfrac{\pi}{2},0\right)$, así que su suma es negativa y no puede ser $+\tfrac{\pi}{2}$. La constante correcta es la negativa:

   $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}-\arctan x,\qquad x<0$

4. 4

   Entender el salto. La función $\arctan x+\arctan\tfrac1x$ es constante a cada lado del origen, pero salta $\pi$ al cruzarlo: toma el valor $\tfrac{\pi}{2}$ para $x>0$ y $-\tfrac{\pi}{2}$ para $x<0$. El salto existe porque el recorrido principal del arcotangente mide solo $\pi$.

5. 5

   Comprobar un valor en cada rama. En $x=2$: $\arctan\tfrac12\approx 0.46365$ y $\tfrac{\pi}{2}-\arctan 2\approx 1.57080-1.10715=0.46365$ $\checkmark$. En $x=-2$: $\arctan\left(-\tfrac12\right)\approx-0.46365$ y $-\tfrac{\pi}{2}-\arctan(-2)\approx-1.57080+1.10715=-0.46365$ $\checkmark$.