Resuelve 3sen(0.5x − 3) + 1 = 3 para todo x real.

Step-by-step solution

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   Despeja primero el factor del seno. No se puede hacer nada trigonométrico mientras el seno siga enterrado bajo un multiplicador y un desplazamiento. Resta $1$ y después divide entre $3$:

   $3\sin(0.5x-3)=2\qquad\Longrightarrow\qquad \sin(0.5x-3)=\frac{2}{3}$

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   Confirma que existe solución. El seno solo toma valores en $[-1,1]$, y $\tfrac{2}{3}\approx0.667$ está dentro de ese rango, así que hay soluciones. (Si el miembro derecho hubiera superado $1$, la ecuación no tendría ninguna; conviene hacer esta comprobación antes de cualquier álgebra.)

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   Escribe las dos ramas de la solución general del seno. Tomando $\theta=0.5x-3$, la ecuación $\sin\theta=\tfrac23$ tiene dos familias por periodo, porque el seno alcanza cada valor una vez subiendo y otra bajando:

   $\theta=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k\qquad\text{o bien}\qquad \theta=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

   Quedarse solo con la primera rama es, con diferencia, el error más común aquí.

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   Deshaz la transformación interior. Suma $3$ y multiplica por $2$. Multiplicar por $2$ convierte además el $2\pi k$ en $4\pi k$: el periodo de $\sin(0.5x-3)$ en $x$ es $\tfrac{2\pi}{0.5}=4\pi$, no $2\pi$:

   $x=6+2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k\qquad\text{o bien}\qquad x=6+2\pi-2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k$

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   Evalúa numéricamente las soluciones principales. $\arcsin\!\left(\tfrac23\right)\approx0.7297$, así que las dos soluciones base son $x\approx6+1.4595=7.4595$ y $x\approx6+6.2832-1.4595=10.8237$.

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   Verifica ambas por sustitución. Para $x\approx7.4595$: $0.5x-3\approx0.7297$ y $3\sin(0.7297)+1=3.0000$ ✓. Para $x\approx10.8237$: $0.5x-3\approx2.4119$ y $3\sin(2.4119)+1=3.0000$ ✓. Sumar cualquier múltiplo de $4\pi$ a cualquiera de ellas reproduce el mismo valor.