Evalúa arctan(0.003), dando la respuesta en radianes y en grados.

Step-by-step solution

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   Enuncia lo que se pide. $\arctan(0.003)$ es el ángulo $\theta$ de $\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$ con $\tan\theta=0.003$. El arcotangente acepta cualquier entrada real, así que no hace falta comprobar el dominio, a diferencia del arcoseno o el arcocoseno.

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   Aplica la regla de ángulos pequeños para predecir la respuesta. La serie de Taylor es

   $\arctan t=t-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}-\cdots$

   Para $t=0.003$ el segundo término es $\tfrac{(0.003)^3}{3}=9\times10^{-9}$, absolutamente despreciable. Así que $\arctan(0.003)\approx0.003$ radianes, con ocho decimales de precisión.

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   Da el valor en radianes.

   $\arctan(0.003)=0.0029999910\ \text{radianes}$

   Exactamente como predice la serie: $0.003-0.000000009=0.002999991$ ✓. La respuesta es muy ligeramente menor que el dato, porque $\tan\theta>\theta$ para $\theta$ positivo y pequeño.

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   Convierte a grados. Multiplica por $\dfrac{180}{\pi}=57.29578$:

   $0.002999991\times57.29578=0.171887^\circ\approx0.1719^\circ$

   Eso son unos $10.3$ minutos de arco: un ángulo muy poco pronunciado, del tipo que aparece en pendientes y en tolerancias de alineación.

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   Observa por qué esto importa en la práctica. Una tangente de $0.003$ es una pendiente de $3$ por cada $1000$, así que la regla de ángulos pequeños dice: para pendientes suaves, el ángulo en radianes es igual a la pendiente. Multiplicar por $57.3$ convierte directamente a grados, y por eso topógrafos e ingenieros pueden tratar pendiente y ángulo como intercambiables por debajo de unos pocos grados.

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   Verifica yendo hacia atrás. $\tan(0.002999991)=0.00300000$ ✓, con lo que se recupera el dato con ocho decimales, y $\tan(0.171887^\circ)=0.003000$ ✓.