Resuelve cos t = −tan(x) por tan(x) para x, e indica cuándo existe solución.

Step-by-step solution

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   Reúne el factor repetido. El miembro derecho es el producto de una cantidad por sí misma:

   $\tan(x)\tan(x)=\tan^2(x)\quad\Rightarrow\quad \cos t=-\tan^2(x)$

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   Usa el recorrido de $\tan^2$ para saber cuándo puede existir solución. El cuadrado de un número real nunca es negativo, así que $\tan^2(x)\ge 0$ y, por tanto, $-\tan^2(x)\le 0$. El miembro izquierdo tiene que acompañar, lo que da la condición de resolubilidad

   $\cos t\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad t\in\left[\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$

   Si $\cos t>0$ no existe ningún $x$ real en absoluto; comprobarlo primero ahorra intentar resolver una ecuación imposible.

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   Despeja el cuadrado.

   $\tan^2(x)=-\cos t$

   Bajo la condición anterior el miembro derecho es $\ge 0$, así que extraer la raíz cuadrada es legítimo.

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   Toma las dos raíces cuadradas.

   $\tan(x)=\pm\sqrt{-\cos t}$

   Conservar ambos signos es esencial: quedarse sin la rama negativa pierde la mitad de la familia de soluciones.

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   Invierte la tangente en todo su periodo. La tangente tiene periodo $\pi$ (no $2\pi$) y $\arctan$ es una función impar, de modo que las dos ramas se funden en una única fórmula:

   $x=\pm\arctan\left(\sqrt{-\cos t}\right)+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

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   Comprueba dos valores representativos de $t$. Si $\cos t=0$ (por ejemplo, $t=\tfrac{\pi}{2}$) la fórmula da $x=k\pi$, y en efecto $-\tan^2(0)=0=\cos\tfrac{\pi}{2}$ ✓. Si $t=\pi$, entonces $\cos t=-1$, con lo que $\tan^2 x=1$ y $x=\pm\tfrac{\pi}{4}+k\pi$; al sustituir, $-\tan^2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-1=\cos\pi$ ✓.