¿Para qué valores de a es y = sen(x + π/4 + a) una función impar?

Step-by-step solution

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   Escribe la condición de imparidad. Una función es impar cuando $f(-x)=-f(x)$ para todo $x$. Reuniendo las constantes en una única fase $c=\tfrac{\pi}{4}+a$, la función es $f(x)=\sin(x+c)$ y la pregunta pasa a ser: ¿para qué $c$ es impar $\sin(x+c)$?

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   Averigua qué fases mantienen impar al seno. El $\sin x$ desnudo es impar, y sumarle un múltiplo de $\pi$ lo conserva:

   $\sin(x+k\pi)=(-1)^{k}\sin x,$

   que es $\pm\sin x$, todavía una función impar. Cualquier otra fase mezcla un coseno, ya que $\sin(x+c)=\sin x\cos c+\cos x\sin c$, y la parte $\cos x\sin c$ es par, lo que destruye la simetría salvo que $\sin c=0$.

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   Confirma que la condición también es necesaria. Probando en $x=0$: una función impar debe cumplir $f(0)=-f(0)$, y por tanto $f(0)=0$. Aquí $f(0)=\sin c$, así que $\sin c=0$ y, en consecuencia,

   $c=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   El único valor $x=0$ basta para fijar la condición por completo, y el paso 2 muestra que además es suficiente.

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   Despeja $a$. De $c=\tfrac{\pi}{4}+a=k\pi$:

   $a=k\pi-\frac{\pi}{4},\qquad k\in\mathbb{Z}.$

   El menor valor positivo corresponde a $k=1$ y da $a=\tfrac{3\pi}{4}$; tomar $k=0$ da $a=-\tfrac{\pi}{4}$, que devuelve la función al $\sin x$ puro.

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   Verifica numéricamente. Con $a=\tfrac{3\pi}{4}$ la función es $\sin(x+\pi)=-\sin x$. Comprobando la imparidad en $x=0.7$: $f(0.7)+f(-0.7)=2\times10^{-16}\approx0$ ✓. Como contraste, $a=0$ da $\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$, y ahí $f(0)=\tfrac{\sqrt2}{2}\ne0$, así que no es ni impar ni par.