¿Cuál de las siguientes expresiones equivale a tan(5π/6): tan(−π/6), cot(5π/6), tan(7π/6) o tan(−5π/6)?

Step-by-step solution

1. 1

   Sitúa el ángulo y obtén su valor exacto. $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ está en el cuadrante II, donde el seno es positivo y el coseno negativo, así que la tangente es negativa. Su ángulo de referencia es $\pi-\frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$, de modo que $\tan\frac{5\pi}{6} = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3} \approx -0.5774.$

2. 2

   Prueba tan(−π/6) usando la simetría impar de la tangente. $\tan(-\theta) = -\tan\theta$, así que $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3}.$ Coincide exactamente.

3. 3

   Descarta cot(5π/6). La cotangente es la inversa multiplicativa, no la misma función: $\cot\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{-1/\sqrt3} = -\sqrt3 \approx -1.7321$. Mismo signo, pero magnitud equivocada.

4. 4

   Descarta tan(7π/6). La tangente tiene periodo $\pi$, así que $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\!\left(\frac{7\pi}{6}-\pi\right) = \tan\frac{\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$. El ángulo está en el cuadrante III, donde la tangente es positiva: signo equivocado.

5. 5

   Descarta tan(−5π/6). Por imparidad, $\tan\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\tan\frac{5\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$: otra vez el signo equivocado y, de hecho, el opuesto del valor buscado.

6. 6

   Enuncia la respuesta y la regla general. Solo funciona $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)$. En general, $\tan\theta = \tan(\theta+k\pi)$ para todo entero $k$, y aquí $\frac{5\pi}{6}-\pi = -\frac{\pi}{6}$: los dos ángulos se diferencian en exactamente un periodo.