Resuelve 10.752 = 9.13 × 9.8 × 0.01 × cos(a) + 9.13 × 9.8 × sen(a) para el ángulo a.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca factor común a la constante repetida. Los dos términos comparten $9.13\cdot9.8 = 89.474$, así que dividir toda la ecuación entre ese factor da $0.01\cos\alpha_m + \sin\alpha_m = \frac{10.752}{89.474} = 0.12016899.$ Esta es la forma estándar $a\cos\alpha+b\sin\alpha=c$ con $a=0.01$ y $b=1$.

2. 2

   Introduce el ángulo auxiliar. Escribe $\sin\alpha_m+0.01\cos\alpha_m = R\sin(\alpha_m+\varphi)$, donde $R = \sqrt{1^2+0.01^2} = \sqrt{1.0001} = 1.00005000,\qquad \tan\varphi = \frac{0.01}{1},\ \varphi = \arctan 0.01 = 0.5729387^\circ.$ Fundir las dos ondas en una sola es lo que hace que la ecuación se pueda resolver en forma cerrada.

3. 3

   Redúcela a una única ecuación con seno. $\sin(\alpha_m+\varphi) = \frac{0.12016899}{1.00005000} = 0.12016298.$

4. 4

   Toma las dos ramas del arcoseno. En $[0^\circ,360^\circ)$ una ecuación con seno tiene dos soluciones: $\alpha_m+\varphi = 6.9015087^\circ \quad\text{o bien}\quad 180^\circ-6.9015087^\circ = 173.0984913^\circ.$ Conserva aquí suficientes cifras: el ángulo auxiliar y este arcoseno entran los dos en la resta, así que un error en cualquiera se propaga directo a $\alpha_m$.

5. 5

   Resta el ángulo auxiliar. $\alpha_m = 6.9015087^\circ - 0.5729387^\circ = 6.32857^\circ \quad\text{o bien}\quad \alpha_m = 173.0984913^\circ - 0.5729387^\circ = 172.52555^\circ.$ En radianes son $0.110454$ y $3.011139$.

6. 6

   Verifica las dos raíces en la ecuación original. Para $\alpha_m = 6.32857^\circ$: $0.89474\cos + 89.474\sin = 0.88929+9.86271 = 10.75200$. Para $\alpha_m = 172.52555^\circ$: $0.89474(-0.9915030)+89.474(0.1300841) = -0.88714+11.63914 = 10.75200$. Las dos cuadran exactamente; la primera es el ángulo pequeño que suele buscarse por razones físicas.