Evalúa arctan(1/2) en radianes y en grados.

Step-by-step solution

1. 1

   Enuncia qué pide la función inversa. $\arctan\left(\tfrac12\right)$ es el único ángulo $\theta$ con

   $\tan\theta=\frac{1}{2},\qquad -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$

   Ese rango principal es lo que hace única la respuesta — infinitos ángulos tienen tangente $\tfrac12$, y se diferencian en múltiplos de $\pi$.

2. 2

   Acota la respuesta antes de calcular. Como $\tan 0=0$ y $\tan\tfrac{\pi}{4}=1$, y la tangente es creciente, el ángulo tiene que cumplir $0<\theta<\tfrac{\pi}{4}=45^\circ$. Es positivo porque $\tfrac12>0$.

3. 3

   Reconoce que no hay forma de ángulo especial. Una tangente de $\tfrac12$ no corresponde a ninguno de los triángulos estándar de $30^\circ$, $45^\circ$ o $60^\circ$, así que la respuesta es irracional y hay que darla numéricamente:

   $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)\approx 0.4636476\ \text{rad}$

4. 4

   Convierte a grados. Multiplica por $\tfrac{180}{\pi}$:

   $0.4636476\times\frac{180}{\pi}\approx 26.5651^\circ$

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   Comprueba volviendo a tomar la tangente. $\tan(0.4636476)=0.5000000$ $\checkmark$, y el valor queda dentro del rango previsto $0<26.565^\circ<45^\circ$ $\checkmark$. Geométricamente es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo de catetos $1$ y $2$, cuya hipotenusa es $\sqrt5$.