Dado 6 sen⁴ x + sen² x − 6 = 0, halla el valor de 2 sen x cos x.

Step-by-step solution

1. 1

   Convertir la ecuación trigonométrica en una cuadrática. Solo aparecen potencias pares de $\sin x$, así que se toma $u=\sin^{2}x$; entonces $\sin^{4}x=u^{2}$ y

   $6u^{2}+u-6=0$

   Obsérvese que el objetivo $2\sin x\cos x=\sin 2x$ también se eleva al cuadrado en algo expresable mediante $u$, de modo que no hará falta ningún valor concreto de $x$.

2. 2

   Resolver la cuadrática y descartar la raíz imposible.

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{1+144}}{12}=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

   Como $u=\sin^{2}x$ debe cumplir $0\le u\le 1$, se rechaza la raíz negativa $\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx-1.09$. Queda

   $\sin^{2}x=\frac{\sqrt{145}-1}{12}\approx 0.92013$

   que está holgadamente dentro de $[0,1]$ ✓.

3. 3

   Obtener $\cos^{2}x$ con la identidad pitagórica.

   $\cos^{2}x=1-\frac{\sqrt{145}-1}{12}=\frac{13-\sqrt{145}}{12}\approx 0.07987$

4. 4

   Elevar al cuadrado el objetivo en lugar de calcularlo directamente. Elevar al cuadrado evita tener que averiguar los signos individuales de $\sin x$ y $\cos x$:

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac{\sqrt{145}-1}{12}\cdot\frac{13-\sqrt{145}}{12}=\frac{\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)}{36}$

5. 5

   Desarrollar el producto de radicales.

   $\left(\sqrt{145}-1\right)\left(13-\sqrt{145}\right)=13\sqrt{145}-145-13+\sqrt{145}=14\sqrt{145}-158$

   así que

   $\left(2\sin x\cos x\right)^{2}=\frac{14\sqrt{145}-158}{36}=\frac{7\sqrt{145}-79}{18}\approx 0.29395$

6. 6

   Extraer la raíz cuadrada y conservar ambos signos.

   $2\sin x\cos x=\sin 2x=\pm\sqrt{\frac{7\sqrt{145}-79}{18}}\approx\pm 0.5422$

   Se dan los dos signos: la ecuación original solo restringe $\sin^{2}x$, así que $x$ puede estar en un cuadrante donde $\sin x$ y $\cos x$ tengan el mismo signo o signos opuestos. Numéricamente, $\sin^{2}x=0.920133$ da $6(0.846645)+0.920133-6=0.000000$ ✓.